На реке организованы теплоходные туры выходного дня. Судно прошло по течению 126 км до стоянки, на которой пассажирам предложили выход на экскурсию (это мероприятие заняло 8 ч),…

Для решения задачи давайте обозначим необходимые величины и признаки, а затем пошагово разберем сам процесс.

1. Обозначим переменные:

   • \( V_t \) — скорость теплохода в стоячей воде (без учета течения);
   • \( V_c = 2 \) км/ч — скорость течения реки;
   • \( V_{down} = V_t + V_c \) — скорость теплохода по течению;
   • \( V_{up} = V_t - V_c \) — скорость теплохода против течения;
   • Расстояние до стоянки \( S = 126 \) км;
   • Время экскурсий \( T_{exc} = 8 \) ч;
   • Время всей поездки \( T_{total} = 24 \) ч.

2. Время в пути:

   • Время, затраченное на путь по течению (отплытие):
     \[ T_{down} = \frac{S}{V_{down}} = \frac{126}{V_t + 2} \]
   • Время, затраченное на путь против течения (возвращение):
     \[ T_{up} = \frac{S}{V_{up}} = \frac{126}{V_t - 2} \]

3. Общее время: Общее время (TP) равно времени в пути по течению, времени на экскурсию и времени в пути против течения: \[ T_{total} = T_{down} + T_{exc} + T_{up} \] Подставим наши формулы: \[ 24 = \frac{126}{V_t + 2} + 8 + \frac{126}{V_t - 2} \]

4. Приведем уравнение к одному виду: Упростим уравнение: \[ 24 - 8 = \frac{126}{V_t + 2} + \frac{126}{V_t - 2} \] \[ 16 = \frac{126}{V_t + 2} + \frac{126}{V_t - 2} \]

5. Умножим на \( (V_t + 2)(V_t - 2) \) чтобы избавиться от дробей: \[ 16(V_t + 2)(V_t - 2) = 126(V_t - 2) + 126(V_t + 2) \] Раскроем скобки: \[ 16(V_t^2 - 4) = 126V_t - 252 + 126V_t + 252 \] \[ 16V_t^2 - 64 = 252V_t \]

6. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 16V_t^2 - 252V_t - 64 = 0 \]

7. Решение квадратного уравнения: Используем формулу для решения квадратных уравнений \( V_t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): Здесь \( a = 16 \), \( b = -252 \), \( c = -64 \).

   • Сначала найдём дискриминант: \[ D = (-252)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-64) = 63504 + 4096 = 67600 \]

   Теперь находим корни: \[ V_t = \frac{252 \pm \sqrt{67600}}{32} \] \[ \sqrt{67600} = 260 \] \[ V_t = \frac{252 \pm 260}{32} \]

   Вычисляем два возможных значения:

   1. \[ V_t = \frac{512}{32} = 16 \] 2. \[ V_t = \frac{-8}{32} \ \text{(не рассматриваем, так как скорость не может быть отрицательной)} \]

Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде равна 16 км/ч. Теперь можем найти скорость против течения: \[ V_{up} = V_t - V_c = 16 - 2 = 14 \text{ км/ч}. \]

Ответ:

Скорость теплохода против течения составляет 14 км/ч.