Чтобы решить задачу о вероятности того, что команда «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз из трех матчей, давайте разобьем решение на несколько шагов.
Шаг 1: Определение вероятностей
Предположим, что при бросании монетки вероятность того, что «Изумруд» выиграет жребий (т.е. монета упадет на ту сторону, которую они выбрали), равна ( p = 0.5 ). Вероятность того, что они проиграют жребий (монета упадет на другую сторону) также равна ( q = 1 - p = 0.5 ).
Шаг 2: Определение испытания
Тогда можно представить ситуацию как выполнение трех независимых испытаний (три матча), где:
- «Успех» — это выигрыш жребия (с вероятностью 0.5).
- «Неудача» — это проигрыш жребия (с вероятностью 0.5).
Шаг 3: Используем биномиальное распределение
Мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения вероятности того, что команда «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз в трех матчах. Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( P(X = k) ) — вероятность того, что произойдет ровно ( k ) успехов.
- ( C(n, k) ) — число сочетаний, которое можно записать как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
- ( n ) — общее количество испытаний (в нашем случае 3 матча).
- ( k ) — количество успехов (в нашем случае 1 выигранный жребий).
- ( p ) — вероятность успеха (0.5).
- ( q ) — вероятность неудачи (0.5).
Шаг 4: Подставляем значения в формулу
Для нашей задачи:
- ( n = 3 )
- ( k = 1 )
- ( p = 0.5 )
- ( q = 0.5 )
Теперь подставим эти значения в формулу:
[
P(X = 1) = C(3, 1) \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{3-1}
]
Шаг 5: Вычисляем число сочетаний
Сначала вычислим число сочетаний ( C(3, 1) ):
[
C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot (2 \cdot 1)} = 3
]
Шаг 6: Завершаем расчет
Теперь подставим всё в формулу:
[
P(X = 1) = 3 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^2
]
[
= 3 \cdot 0.5 \cdot 0.25
]
[
= 3 \cdot 0.125
]
[
= 0.375
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что команда «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз из трех матчей, составляет ( 0.375 ) или ( 37.5% ).
