Чтобы решить уравнение
[
\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} = 0,
]
давайте начнем с приведения уравнения к общему виду.
Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель для дробей (\frac{1}{x^2}) и (\frac{2}{x}) будет (x^2). Умножим все слагаемые на (x^2) (при этом мы предположим, что (x \neq 0), потому что в данном случае дроби не определены):
[
x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + x^2 \cdot \frac{2}{x} = 0.
]
В результате получаем:
[
1 + 2x = 0.
]
Шаг 2: Решение уравнения
Теперь решим получившееся линейное уравнение:
[
2x + 1 = 0.
]
Для этого нужно выразить (x):
[
2x = -1 \
x = -\frac{1}{2}.
]
Шаг 3: Проверка
Давайте подставим полученное значение (x = -\frac{1}{2}) обратно в исходное уравнение и проверим, верно ли оно:
[
\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} + \frac{2}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} - 4 = 4 - 4 = 0.
]
Значит, (x = -\frac{1}{2}) действительно является решением.
Ответ
Таким образом, решение уравнения
[
\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} = 0
]
— это
[
x = -\frac{1}{2}.
]
