Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60", а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 27 см. Определи длину меньшего катета. 1. Величина второго острого угла равна 2. Длина меньшего катета равна См.

Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Дано: - Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°. - Сумма меньшего катета (обозначим его как \( a \)) и гипотенузы (обозначим ее как \( c \)) равна 27 см: \( a + c = 27 \). ### Шаг 1: Определим второй острый угол В прямоугольном треугольнике сумма острых углов всегда равна 90°. Если один из углов равен 60°, то второй угол можно найти следующим образом: \[ 90° - 60° = 30° \] Таким образом, величина второго острого угла равна 30°. ### Шаг 2: Используем тригонометрические соотношения Теперь, зная углы, можем использовать тригонометрические функции, чтобы выразить катеты через гипотенузу. В прямоугольном треугольнике, если угол \( A = 60° \) и угол \( B = 30° \), то: - Синус 60°: \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - Косинус 60°: \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\) Так как \( a \) — это катет, противоположный углу в 60°, можно записать: \[ \frac{a}{c} = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Из этого уравнения можно выразить катет \( a \): \[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] ### Шаг 3: Подставим выражение для \( a \) в уравнение суммы катета и гипотенузы Теперь у нас есть два уравнения: 1. \( a + c = 27 \) 2. \( a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) Подставим \( a \) из второго уравнения в первое: \[ c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 27 \] Сложим дроби: \[ c \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = 27 \] ### Шаг 4: Упростим уравнение Упрощаем \( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \] Теперь подставим в уравнение: \[ c \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{2} = 27 \] Умножим обе стороны на 2: \[ c \cdot (\sqrt{3} + 2) = 54 \] Теперь найдем \( c \): \[ c = \frac{54}{\sqrt{3} + 2} \] ### Шаг 5: Найдем значение гипотенузы Для удобства можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \[ c = \frac{54 (\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{54 (\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -54 (\sqrt{3} - 2) \] Это дает нам положительное значение гипотенузы, так как мы рассматриваем только положительные длины. ### Шаг 6: Найдем длину меньшего катета Теперь, зная значение \( c \), мы можем найти \( a \): Подставим \( c \) в уравнение \( a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \): Итак, подставив значение \( c \) (как полученное положительное): Проведем подсчеты: Сначала узнайте длину меньшего катета: \[ a + c = 27 => a = 27 - c \] В итоговом выражении: Подставляя, например, \( c = \sqrt{3}\): Получаем, например, \( 27 = c + a = \sqrt{3} + 27 - c\)}, что позволяет решить уравнение через катеты конечными шагами. ### Ответ: 1. Величина второго острого угла равна **30°**. 2. Длина меньшего катета равна **12 см (округлите по желанию).** Пожалуйста, убедитесь в расчётах.