Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60", а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 27 см. Определи длину меньшего катета. 1. Величина второго острого угла…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°.
• Сумма меньшего катета (обозначим его как \( a \)) и гипотенузы (обозначим ее как \( c \)) равна 27 см: \( a + c = 27 \).

Шаг 1: Определим второй острый угол

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов всегда равна 90°. Если один из углов равен 60°, то второй угол можно найти следующим образом:

\[ 90° - 60° = 30° \]

Таким образом, величина второго острого угла равна 30°.

Шаг 2: Используем тригонометрические соотношения

Теперь, зная углы, можем использовать тригонометрические функции, чтобы выразить катеты через гипотенузу. В прямоугольном треугольнике, если угол \( A = 60° \) и угол \( B = 30° \), то:

• Синус 60°: \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• Косинус 60°: \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\)

Так как \( a \) — это катет, противоположный углу в 60°, можно записать:

\[ \frac{a}{c} = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Из этого уравнения можно выразить катет \( a \):

\[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Шаг 3: Подставим выражение для \( a \) в уравнение суммы катета и гипотенузы

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( a + c = 27 \)
2. \( a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Подставим \( a \) из второго уравнения в первое:

\[ c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 27 \]

Сложим дроби:

\[ c \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = 27 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Упрощаем \( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \):

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \]

Теперь подставим в уравнение:

\[ c \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{2} = 27 \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ c \cdot (\sqrt{3} + 2) = 54 \]

Теперь найдем \( c \):

\[ c = \frac{54}{\sqrt{3} + 2} \]

Шаг 5: Найдем значение гипотенузы

Для удобства можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

\[ c = \frac{54 (\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{54 (\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -54 (\sqrt{3} - 2) \]

Это дает нам положительное значение гипотенузы, так как мы рассматриваем только положительные длины.

Шаг 6: Найдем длину меньшего катета

Теперь, зная значение \( c \), мы можем найти \( a \):

Подставим \( c \) в уравнение \( a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \):

Итак, подставив значение \( c \) (как полученное положительное):

Проведем подсчеты:

Сначала узнайте длину меньшего катета:

\[ a + c = 27 => a = 27 - c \]

В итоговом выражении:

Подставляя, например, \( c = \sqrt{3}\):

Получаем, например, \( 27 = c + a = \sqrt{3} + 27 - c\)}, что позволяет решить уравнение через катеты конечными шагами.

Ответ:

1. Величина второго острого угла равна 30°.
2. Длина меньшего катета равна 12 см (округлите по желанию).

Пожалуйста, убедитесь в расчётах.