проводится серия из 6 независимых испытаний бернулли с вероятностью успеха 1/2 найдите вероятность элементарного события 4 успеха 2 неудачи

Для решения задачи о Bernoulli-испытаниях, давайте рассмотрим, что такое Bernoulli-испытание и как считать вероятности.

1. Определение Bernoulli-испытания:
Это эксперимент, который может закончиться двумя исходами: успехом (с вероятностью \( p \)) и неудачей (с вероятностью \( 1 - p \)). В данной задаче вероятность успеха \( p = \frac{1}{2} \), а вероятность неудачи \( 1 - p = \frac{1}{2} \).

2. Формула для расчета вероятности конкретного исхода:
Вероятность того, что в серии из \( n \) независимых испытаний произойдет \( k \) успехов (и, следовательно, \( n - k \) неудач), можно вычислить с использованием биномиальной формулы:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний (вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \)),
• \( n \) — общее число испытаний,
• \( k \) — число успехов,
• \( p \) — вероятность успеха,
• \( (1 - p) \) — вероятность неудачи.

3. Исходные данные:
В нашем случае:

• \( n = 6 \) (общее количество испытаний)
• \( k = 4 \) (число успехов)

4. Вычисление биномиального коэффициента:
Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(6, 4) \):

\[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6 - 4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

5. Подстановка значений в формулу:
Теперь используем формулу для вычисления вероятности:

\[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot p^4 \cdot (1 - p)^{6 - 4} \]

Подставим известные значения:

\[ P(X = 4) = 15 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \]

6. Упростим выражение:
\[ P(X = 4) = 15 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4 + 2} = 15 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \]

7. Ответ:
Итак, вероятность получить 4 успеха и 2 неудачи в 6 независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха 1/2 равна \( \frac{15}{64} \).

Это означает, что в данной ситуации, в 6 испытаниях с равными шансами успеха и неудачи, вероятность, что произойдет ровно 4 успеха, составляет \( \frac{15}{64} \).