Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как моделируется зависимость поступлений от налоговой ставки. У нас есть два значения для поступлений (1,3 млрд фантиков) при разных ставках налога (10% и 33%), что указывает на наличие максимумов в функции. Также мы знаем, что при ставке 27% поступления составляют 1,6 млрд фантиков. 1. **Обозначим функцию**: Обозначим зависимость поступления (P) от ставки налога (x) как квадратичную функцию: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \(a\), \(b\) и \(c\) — это коэффициенты, которые мы попробуем определить. 2. **Запишем систему уравнений**: У нас есть три известные точки: - \(P(10) = 1.3\) млрд - \(P(27) = 1.6\) млрд - \(P(33) = 1.3\) млрд Подставим значения в нашу функцию. 1) Для \(x = 10\): \[ 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \implies 1.3 = 100a + 10b + c \tag{1} \] 2) Для \(x = 27\): \[ 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \implies 1.6 = 729a + 27b + c \tag{2} \] 3) Для \(x = 33\): \[ 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \implies 1.3 = 1089a + 33b + c \tag{3} \] Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными. 3. **Вычтем уравнения, чтобы упростить систему**: Выразим \(c\) из первого уравнения (1): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \tag{4} \] Подставляем (4) в уравнения (2) и (3): Из (2): \[ 1.6 = 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) \implies 1.6 = 629a + 17b + 1.3 \] Это приводит к: \[ 629a + 17b = 0.3 \tag{5} \] Из (3): \[ 1.3 = 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) \implies 0 = 989a + 23b \] Это приводит к: \[ 989a + 23b = 0 \tag{6} \] 4. **Решение системы (5) и (6)**: Теперь у нас есть: \[ 629a + 17b = 0.3 \tag{5} \] \[ 989a + 23b = 0 \tag{6} \] Умножим (6) на 17 и (5) на 23, чтобы исключить \(b\): \[ 629a + 17b = 0.3 \tag{5} \] \[ 16813a + 391b = 0 \tag{6'} \] Затем подставим: \[ 17b = -989a \implies b = -\frac{989}{17}a \] Подставим \(b\) в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{17}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - 989a = 0.3 \implies -360a = 0.3 \implies a = -\frac{0.3}{360} = -\frac{1}{1200} \] Теперь можем найти \(b\): \[ b = -\frac{989}{17}\left(-\frac{1}{1200}\right) = \frac{989}{20400} \] 5. **Нахождение максимальной точки**: Для квадратичной функции максимум достигается в вершине параболы, которая находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Подставляем найденные значения: \[ x = -\frac{\frac{989}{20400}}{2\cdot -\frac{1}{1200}} = \frac{989}{20400} \cdot \frac{1200}{2} = \frac{989 \cdot 600}{20400} = 29 \text{ (приближенно)} \] 6. **Ответ**: Ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям, составляет около 29%.