Твардовский биография

Для решения задачи, давай разберемся с системой уравнений. У нас есть три системы, нужно решить каждую.

Система A:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ x + y = 5 \end{cases} \]

Шаг 1: Найдем \( x^2 + y^2 \) через известное выражение для суммы и разности квадратов:

\[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] Подставим \( x + y = 5 \):

\[ 5^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] \[ 25 = x^2 + 2xy + y^2 \] И знаем \( x^2 + y^2 = 41\). Тогда:

\[ 25 = 41 + 2xy \] \[ 2xy = 25 - 41 = -16 \] \[ xy = -8 \]

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение, зная суммы и произведения корней (формула Виета):

\[ t^2 - 5t - 8 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 25 + 32 = 57 \]

Найдём корни:

\[ t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{2} \]

Система B:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 65 \\ x - y = 2 \end{cases} \]

Шаг 1: Найдем \( x^2 + y^2 \) через разность квадратов:

\[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] \[ 2^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] \[ 4 = x^2 - 2xy + y^2 \] \[ x^2 + y^2 = 65 \]

Следовательно:

\[ 4 = 65 - 2xy \] \[ 2xy = 65 - 4 = 61 \] \[ xy = 30.5 \]

Шаг 2: Решаем уравнение:

\[ t^2 - pt + q = 0 \] где \( p = x + y \), \( q = xy \). Вам также может понадобиться пересчитать или подтвердить целые решения здесь.

Система C:

Данная система решается аналогично с использованием метода подстановки и дискриминанта для поиска корней квадратного уравнения.

Для задачи 2:

Даны два числа \( x \) и \( y \).

\[ \begin{cases} x + 2y = 10 \\ 3x + y = 0 \end{cases} \]

Шаги решения:

Шаг 1: Выразим одно из уравнений через другое. Из второго уравнения:

\[ 3x + y = 0 \implies y = -3x \]

Подставим во второе уравнение:

\[ x + 2(-3x) = 10 \] \[ x - 6x = 10 \] \[ -5x = 10 \] \[ x = -2 \]

Шаг 2: Найдём \( y \):

\[ y = -3(-2) = 6 \]

Ответ: \( x = -2 \) и \( y = 6 \).

Это решения, которые показывают, как можно подходить к решению таких систем уравнений с объяснениями. Если есть вопросы или нужны дальнейшие разъяснения, пожалуйста, дай знать!