Значение выражения 12·7^135 + 11·7^92 – 63·49^11 + 17·7^11 + 157 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько различных цифр содержится в этой записи?

Для того чтобы решить задачу, начнем со всех данных в выражении и упрощения его: 1. **Запишем выражение:** \[ 12 \cdot 7^{135} + 11 \cdot 7^{92} - 63 \cdot 49^{11} + 17 \cdot 7^{11} + 157 \] 2. **Преобразуем \(49^{11}\):** Мы знаем, что \(49 = 7^2\), следовательно: \[ 49^{11} = (7^2)^{11} = 7^{22} \] Теперь подставим это обратно в выражение: \[ 63 \cdot 49^{11} = 63 \cdot 7^{22} \] 3. **Подставим это в полное выражение:** \[ 12 \cdot 7^{135} + 11 \cdot 7^{92} - 63 \cdot 7^{22} + 17 \cdot 7^{11} + 157 \] 4. **Теперь выражение можно записать в одной системе счисления (основание 7):** \[ 12 \cdot 7^{135} + 11 \cdot 7^{92} + 17 \cdot 7^{11} + 157 - 63 \cdot 7^{22} \] 5. **Сложим все элементы по степеням 7:** - Обратите внимание, что каждый из членов имеет свою степень \(7^k\), где \(k\) — это степень, при которой умножается коэффициент (число перед степенью). 6. **Теперь выделим коэффициенты:** - Для 7^{135}: 12 - Для 7^{92}: 11 - Для 7^{22}: \(-63\) - Для 7^{11}: 17 - Для 7^{0} (что соответствует 157): 157 7. **Примечания о числе и его разложении:** - Смотрим на каждую из цифр, которые могут получиться в записи числа в системе счисления с основанием 7. - Важно помнить, что в данной системе счисления допустимыми цифрами будут числа от 0 до 6. 8. **Теперь определим, какие цифры могут появиться в результате.** - Обратите внимание на коэффициенты: \(12, 11, -63, 17, 157\). - При переводе этих чисел в систему счисления с основанием 7, ключевыми факторами будет, что у нас есть такие числа: - \(12\) в новой системе станет \(1 \cdot 7^1 + 5\) (т.е., цифры 1 и 5). - \(11\) станет \(1 \cdot 7^1 + 4\) (т.е., цифры 1 и 4). - \(-63\) в данной записи будет значить , что мы должны преобразовать его в положительное. - \(17\) в новой системе станет \(2 \cdot 7^1 + 3\) (т.е., цифры 2 и 3). - \(157\) станет: \(3 \cdot 7^2 + 1 \cdot 7^1 + 1\) (т.е., цифры 3, 1). 9. **Теперь перечислим все различные цифры, которые появились:** - Из \(12\): 1, 5 - Из \(11\): 1, 4 - Из \(17\): 2, 3 - Из \(157\): 3, 1 10. **Итак, у нас есть различные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.** - Единственная цифра, которая не появляется, — это 6 (в процессе разложения). 11. **Ответ:** В записи числа в системе счисления с основанием 7 содержится 6 различных цифр. Поэтому итог: \[ \text{Количество различных цифр} = 6 \]