Чтобы решить задачу, давайте начнем с геометрической интерпретации. Нам дан цилиндр, в котором:
- Диагональ осевого сечения равна 48 см.
- Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°.
Шаг 1: Понимание диагонали осевого сечения.
Осевое сечение цилиндра — это сечение, которое проходит через ось цилиндра. Для прямого цилиндра осевое сечение представляет собой прямоугольный треугольник, где:
- Одна из сторон — это высота цилиндра (h).
- Вторая сторона — это радиус основания цилиндра (r).
- Диагональ — это гипотенуза, которая равна 48 см.
Поэтому можно записать это в виде:
[ c = 48 , \text{см} ]
где ( c ) — это диагональ (гипотенуза треугольника).
Шаг 2: Используя угол и определение расстояний.
Из условия мы знаем, что угол между диагональю и образующей равен 60°. Обозначим образующую как ( h ).
Мы можем узнать высоту цилиндра используя тригонометрию. В прямоугольном треугольнике по определению косинуса:
[ \cos(60°) = \frac{h}{c} ]
Из этого уравнения находим высоту ( h ):
[ h = c \cdot \cos(60°) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 , \text{см} ]
Шаг 3: Найдем радиус.
Теперь с помощью синуса можем найти радиус основания цилиндра. Используя определение синуса:
[ \sin(60°) = \frac{r}{c} ]
Тогда радиус ( r ) можно выразить как:
[ r = c \cdot \sin(60°) = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} , \text{см} ]
Шаг 4: Находим площадь основания.
Площадь основания цилиндра ( S ) вычисляется по формуле площади круга:
[ S = \pi r^2 ]
Теперь подставим ( r ):
[ S = \pi (24\sqrt{3})^2 = \pi (576 \cdot 3) = 1728\pi , \text{см}^2 ]
Ответ: Площадь основания цилиндра равна ( 1728\pi ) см².
