3) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите площадь основания цилиндра.

Чтобы решить задачу, давайте начнем с геометрической интерпретации. Нам дан цилиндр, в котором:

• Диагональ осевого сечения равна 48 см.
• Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°.

Шаг 1: Понимание диагонали осевого сечения.

Осевое сечение цилиндра — это сечение, которое проходит через ось цилиндра. Для прямого цилиндра осевое сечение представляет собой прямоугольный треугольник, где:

• Одна из сторон — это высота цилиндра (h).
• Вторая сторона — это радиус основания цилиндра (r).
• Диагональ — это гипотенуза, которая равна 48 см.

Поэтому можно записать это в виде:

\[ c = 48 \, \text{см} \]

где \( c \) — это диагональ (гипотенуза треугольника).

Шаг 2: Используя угол и определение расстояний.

Из условия мы знаем, что угол между диагональю и образующей равен 60°. Обозначим образующую как \( h \).

Мы можем узнать высоту цилиндра используя тригонометрию. В прямоугольном треугольнике по определению косинуса:

\[ \cos(60°) = \frac{h}{c} \]

Из этого уравнения находим высоту \( h \):

\[ h = c \cdot \cos(60°) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 \, \text{см} \]

Шаг 3: Найдем радиус.

Теперь с помощью синуса можем найти радиус основания цилиндра. Используя определение синуса:

\[ \sin(60°) = \frac{r}{c} \]

Тогда радиус \( r \) можно выразить как:

\[ r = c \cdot \sin(60°) = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \, \text{см} \]

Шаг 4: Находим площадь основания.

Площадь основания цилиндра \( S \) вычисляется по формуле площади круга:

\[ S = \pi r^2 \]

Теперь подставим \( r \):

\[ S = \pi (24\sqrt{3})^2 = \pi (576 \cdot 3) = 1728\pi \, \text{см}^2 \]

Ответ: Площадь основания цилиндра равна \( 1728\pi \) см².