Для решения этой задачи давайте обозначим количество 10-процентного раствора спирта за ( x ) литров, а количество 20-процентного раствора спирта — за ( y ) литров. У нас есть две ситуации, описанные в задаче, которые мы будем анализировать.
1. Составим уравнения
В первой ситуации:
Наташа добавляет 1 литр чистой воды к своей смеси. После этого концентрация спирта составляет 14%. Сначала найдем общее количество спирта в смеси.
Спирт в 10-процентном растворе:
[
0.1x
]
Спирт в 20-процентном растворе:
[
0.2y
]
Общее количество спирта в смеси:
[
0.1x + 0.2y
]
Общий объем раствора с добавлением 1 литра воды:
[
x + y + 1
]
Установим уравнение для концентрации спирта:
[
\frac{0.1x + 0.2y}{x + y + 1} = 0.14
]
Умножим обе стороны на ( x + y + 1 ):
[
0.1x + 0.2y = 0.14(x + y + 1)
]
Распределим ( 0.14 ):
[
0.1x + 0.2y = 0.14x + 0.14y + 0.14
]
Переносим все на одну сторону:
[
0.1x + 0.2y - 0.14x - 0.14y - 0.14 = 0
]
Объединим подобные:
[
-0.04x + 0.06y - 0.14 = 0
]
Умножим все на -100 для удобства:
[
4x - 6y + 14 = 0 \quad (1)
]
Во второй ситуации:
Наташа добавляет 1 литр 40-процентного раствора спирта. То есть у нас будет:
[
0.4 \times 1 = 0.4 \quad \text{(спирта из 40%-го раствора)}
]
Общий спирт в смеси:
[
0.1x + 0.2y + 0.4
]
Общий объем раствора с добавлением 1 литра 40%-го раствора:
[
x + y + 1
]
Запишем уравнение для этой ситуации:
[
\frac{0.1x + 0.2y + 0.4}{x + y + 1} = 0.22
]
Умножим обе стороны на ( x + y + 1 ):
[
0.1x + 0.2y + 0.4 = 0.22(x + y + 1)
]
Распределим ( 0.22 ):
[
0.1x + 0.2y + 0.4 = 0.22x + 0.22y + 0.22
]
Переносим все на одну сторону:
[
0.1x + 0.2y + 0.4 - 0.22x - 0.22y - 0.22 = 0
]
Объединим подобные:
[
-0.12x - 0.02y + 0.18 = 0
]
Умножим на -100:
[
12x + 2y - 18 = 0 \quad (2)
]
2. Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( 4x - 6y + 14 = 0 )
- ( 12x + 2y - 18 = 0 )
Решим первое уравнение:
[
4x - 6y = -14 \quad \Rightarrow \quad 4x = 6y - 14 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6y - 14}{4} \quad \Rightarrow \quad x = 1.5y - 3.5 \quad \text{(3)}
]
Подставим (3) во второе уравнение:
[
12(1.5y - 3.5) + 2y - 18 = 0
]
Упрощаем:
[
18y - 42 + 2y - 18 = 0 \quad \Rightarrow \quad 20y - 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad 20y = 60 \quad \Rightarrow \quad y = 3
]
Теперь подставим ( y ) в (3) для нахождения ( x ):
[
x = 1.5(3) - 3.5 = 4.5 - 3.5 = 1
]
3. Ответ
Таким образом, Наташа смешала:
- ( x = 1 ) литр 10-процентного раствора спирта и
- ( y = 3 ) литра 20-процентного раствора спирта.
Ответ: Наташа смешала 1 литр 10-процентного раствора спирта.
