На завтра по алгебре решить задачу: Химик Наташа смешала 10-процентный и 20-процентный растворы спирта. Она знает, что если добавит к смеси 1 литр чистой воды, то получит…

Для решения этой задачи давайте обозначим количество 10-процентного раствора спирта за \( x \) литров, а количество 20-процентного раствора спирта — за \( y \) литров. У нас есть две ситуации, описанные в задаче, которые мы будем анализировать.

1. Составим уравнения

В первой ситуации:

Наташа добавляет 1 литр чистой воды к своей смеси. После этого концентрация спирта составляет 14%. Сначала найдем общее количество спирта в смеси.

Спирт в 10-процентном растворе: \[ 0.1x \]

Спирт в 20-процентном растворе: \[ 0.2y \]

Общее количество спирта в смеси: \[ 0.1x + 0.2y \]

Общий объем раствора с добавлением 1 литра воды: \[ x + y + 1 \]

Установим уравнение для концентрации спирта: \[ \frac{0.1x + 0.2y}{x + y + 1} = 0.14 \]

Умножим обе стороны на \( x + y + 1 \): \[ 0.1x + 0.2y = 0.14(x + y + 1) \] Распределим \( 0.14 \): \[ 0.1x + 0.2y = 0.14x + 0.14y + 0.14 \] Переносим все на одну сторону: \[ 0.1x + 0.2y - 0.14x - 0.14y - 0.14 = 0 \] Объединим подобные: \[ -0.04x + 0.06y - 0.14 = 0 \]

Умножим все на -100 для удобства: \[ 4x - 6y + 14 = 0 \quad (1) \]

Во второй ситуации:

Наташа добавляет 1 литр 40-процентного раствора спирта. То есть у нас будет: \[ 0.4 \times 1 = 0.4 \quad \text{(спирта из 40%-го раствора)} \]

Общий спирт в смеси: \[ 0.1x + 0.2y + 0.4 \]

Общий объем раствора с добавлением 1 литра 40%-го раствора: \[ x + y + 1 \]

Запишем уравнение для этой ситуации: \[ \frac{0.1x + 0.2y + 0.4}{x + y + 1} = 0.22 \] Умножим обе стороны на \( x + y + 1 \): \[ 0.1x + 0.2y + 0.4 = 0.22(x + y + 1) \] Распределим \( 0.22 \): \[ 0.1x + 0.2y + 0.4 = 0.22x + 0.22y + 0.22 \] Переносим все на одну сторону: \[ 0.1x + 0.2y + 0.4 - 0.22x - 0.22y - 0.22 = 0 \] Объединим подобные: \[ -0.12x - 0.02y + 0.18 = 0 \]

Умножим на -100: \[ 12x + 2y - 18 = 0 \quad (2) \]

2. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 4x - 6y + 14 = 0 \)
2. \( 12x + 2y - 18 = 0 \)

Решим первое уравнение: \[ 4x - 6y = -14 \quad \Rightarrow \quad 4x = 6y - 14 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6y - 14}{4} \quad \Rightarrow \quad x = 1.5y - 3.5 \quad \text{(3)} \]

Подставим (3) во второе уравнение: \[ 12(1.5y - 3.5) + 2y - 18 = 0 \] Упрощаем: \[ 18y - 42 + 2y - 18 = 0 \quad \Rightarrow \quad 20y - 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad 20y = 60 \quad \Rightarrow \quad y = 3 \]

Теперь подставим \( y \) в (3) для нахождения \( x \): \[ x = 1.5(3) - 3.5 = 4.5 - 3.5 = 1 \]

3. Ответ

Таким образом, Наташа смешала:

• \( x = 1 \) литр 10-процентного раствора спирта и
• \( y = 3 \) литра 20-процентного раствора спирта.

Ответ: Наташа смешала 1 литр 10-процентного раствора спирта.