гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см. его площадь равна 180см2. найдите катеты.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Задано:

• Гипотенуза треугольника \( c = 41 \) см.
• Площадь треугольника \( S = 180 \) см².

Необходимо найти:

• Длину катетов \( a \) и \( b \).

Решение:

В прямоугольном треугольнике площадь можно выразить через катеты: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Из этого уравнения можем выразить \( ab \): \[ a \cdot b = 2S \] Подставим \( S = 180 \): \[ ab = 2 \cdot 180 = 360 \] Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( a \cdot b = 360 \)
2. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Подставим значение гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = 41^2 = 1681 \]

Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} ab = 360 \\ a^2 + b^2 = 1681 \end{cases} \]

1. Найдем \( a^2 + b^2 \) через \( ab \):

Преобразуем \( (a + b)^2 \): \[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \] Подставим известные значения: \[ a^2 + b^2 = 1681 \] \[ 2ab = 2 \cdot 360 = 720 \] Теперь подставим это в уравнение: \[ (a + b)^2 = 1681 + 720 = 2401 \]

2. Найдем \( a + b \):

Теперь найдем \( a + b \): \[ a + b = \sqrt{2401} = 49 \]

3. У нас есть система уравнений:

Теперь у нас есть две новых переменных: \[ \begin{cases} a + b = 49 \\ ab = 360 \end{cases} \]

4. Решим систему уравнений:

Это система, которую можно решить через подстановку или через квадратное уравнение. Подставим через превращение: Из первого уравнения: \[ b = 49 - a \] Подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a(49 - a) = 360 \] Раскроем скобки: \[ 49a - a^2 = 360 \] Переносим всё в одну сторону: \[ a^2 - 49a + 360 = 0 \]

5. Найдем дискриминант:

Теперь найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 \] \[ D = 2401 - 1440 = 961 \]

6. Найдем корни уравнения:

Корни квадратного уравнения находятся по формуле: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a_{1,2} = \frac{49 \pm 31}{2} \] Теперь найдем корни:

1. \( a_1 = \frac{49 + 31}{2} = 40 \)
2. \( a_2 = \frac{49 - 31}{2} = 9 \)

Итоги:

Таким образом, катеты \( a \) и \( b \):

• \( a = 40 \) см
• \( b = 9 \) см

Ответ:

Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 9 см.