В чемпионате города по футболу играет 12 команд. Сколькими способами могут распреде- литься три призовых места? Как называются все такие комбинации?

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Условия задачи

В чемпионате участвуют 12 команд, и нам нужно определить, сколько способов можно распределить три призовых места между этими командами. Это задачи на комбинаторику, где нас интересуют перестановки (порядковое распределение).

Распределение призовых мест

Поскольку у нас три призовых места (например, 1-е, 2-е и 3-е), и порядок важен (1-е место — это не то же самое, что 2-е или 3-е), мы используем формулу для перестановок.

Формула перестановок

Для выбора и расстановки \( k \) элементов из \( n \) по порядку (где \( n \) — всего элементов, а \( k \) — количество выбираемых) используется следующая формула:

\[ P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} \]

где \( n! \) — факториал \( n \), то есть произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \).

Применяем формулу к нашей задаче

В нашем случае \( n = 12 \) (всего команд) и \( k = 3 \) (призовых места), поэтому подставим эти значения в формулу:

\[ P(12, 3) = \frac{12!}{(12 - 3)!} = \frac{12!}{9!} \]

Теперь мы можем упростить выражение:

\[ 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9! \]

Следовательно,

\[ \frac{12!}{9!} = 12 \times 11 \times 10 \]

Вычисляем

Теперь произведем умножение:

\[ 12 \times 11 = 132 \] \[ 132 \times 10 = 1320 \]

Итак, общее количество способов распределения трёх призовых мест между 12 командами составляет 1320.

Комбинации

Все такие комбинации называются перестановками трех команд из двенадцати. Перестановка здесь означает, что команда, занявшая 1-е место, отличается от команды, занявшей 2-е место, даже если они изначально были одинаковыми командами.

Итог

Всего возможных способов распределить три призовых места среди 12 команд — 1320.