На координатной плоскости заданы точки А (-1;6), B (-4;-9), C (8;-10)и D (7;-27). Найдите длину вектора 3AC- 2Bd

Для решения задачи, связанной с векторами на координатной плоскости, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте подробно разберем, как найти длину вектора \(3AC - 2BD\).

1. Найдём векторы AC и BD:

   Вектор AC можно найти, используя координаты точек C и A. Вектор AC определяется как разность координат точки C и координат точки A: \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16). \]

   Вектор BD определяется аналогично, используя координаты точек D и B: \[ \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (7 - (-4), -27 - (-9)) = (7 + 4, -27 + 9) = (11, -18). \]

2. Умножим векторы на соответствующие коэффициенты:

   Теперь умножим каждый из векторов на указанные коэффициенты.

   Для вектора \( \vec{AC} \): \[ 3\vec{AC} = 3(9, -16) = (27, -48). \]

   Для вектора \( \vec{BD} \): \[ 2\vec{BD} = 2(11, -18) = (22, -36). \]

3. Вычтем векторы:

   Теперь вычтем \(2\vec{BD}\) из \(3\vec{AC}\): \[ 3\vec{AC} - 2\vec{BD} = (27, -48) - (22, -36) = (27 - 22, -48 - (-36)) = (5, -12). \]

4. Найдем длину вектора:

   Длина вектора \( (x, y) \) рассчитывается по формуле: \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2}. \] В нашем случае: \[ ||(5, -12)|| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13. \]

Таким образом, длина вектора \(3AC - 2BD\) составляет 13.