7
Давайте разберёмся с данным интегралом:
\[ \int_{4}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}} \]
Для того чтобы решить этот интеграл, сначала найдём неопределённый интеграл:
Выразим функцию в интеграле:
\[\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx\]
Вычислим интеграл:
Для вычисления этого интеграла используем формулу интегрирования степенной функции:
\[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]
где \( n \neq -1 \). Подставляем \( n = -\frac{1}{2} \):
\[ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C \]
Вычислим определённый интеграл:
Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ \int_{4}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{b \to \infty} \left[ 2\sqrt{x} \right]_{4}^{b} \]
Подставим значения:
\[ \lim_{b \to \infty} \left( 2\sqrt{b} - 2\sqrt{4} \right) = \lim_{b \to \infty} \left( 2\sqrt{b} - 4 \right) \]
Поскольку \(\lim_{b \to \infty} 2\sqrt{b} \to \infty\), интеграл расходится.
Таким образом, правильным ответом является расходится.
