7

Давайте разберёмся с данным интегралом: \[ \int_{4}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}} \] Для того чтобы решить этот интеграл, сначала найдём неопределённый интеграл: 1. **Выразим функцию в интеграле:** \[\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx\] 2. **Вычислим интеграл:** Для вычисления этого интеграла используем формулу интегрирования степенной функции: \[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\] где \( n \neq -1 \). Подставляем \( n = -\frac{1}{2} \): \[ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C \] 3. **Вычислим определённый интеграл:** Теперь подставим пределы интегрирования: \[ \int_{4}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{b \to \infty} \left[ 2\sqrt{x} \right]_{4}^{b} \] Подставим значения: \[ \lim_{b \to \infty} \left( 2\sqrt{b} - 2\sqrt{4} \right) = \lim_{b \to \infty} \left( 2\sqrt{b} - 4 \right) \] Поскольку \(\lim_{b \to \infty} 2\sqrt{b} \to \infty\), интеграл расходится. Таким образом, правильным ответом является **расходится**.