Чтобы понять, как решить данный интеграл, мы рассмотрим функцию ( f(x) ) и её области определения.
Функция ( f(x) ) задана кусочно:
- ( f(x) = x ) для ( 0 \leq x \leq 1 )
- ( f(x) = 2 - x ) для ( 1 < x \leq 3 )
Интеграл, который необходимо вычислить:
[
\int_0^3 f(x) , dx
]
Поскольку функция состоит из двух участков, разобьём интеграл на два:
[
\int_0^3 f(x) , dx = \int_0^1 x , dx + \int_1^3 (2-x) , dx
]
Теперь решим каждый из интегралов отдельно.
- Интеграл (\int_0^1 x , dx):
[
\int x , dx = \frac{x^2}{2} + C
]
Подставляем пределы:
[
\left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}
]
- Интеграл (\int_1^3 (2-x) , dx):
[
\int (2-x) , dx = \int 2 , dx - \int x , dx = 2x - \frac{x^2}{2} + C
]
Подставляем пределы:
[
\left. (2x - \frac{x^2}{2}) \right|_1^3 = \left(2 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}\right)
]
[
= (6 - \frac{9}{2}) - (2 - \frac{1}{2})
]
[
= \left(6 - 4.5\right) - \left(2 - 0.5\right)
]
[
= 1.5 - 1.5 = 0
]
Теперь складываем результаты двух интегралов:
[
\frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}
]
Значение интеграла равно (\frac{1}{2}).
