9

Чтобы понять, как решить данный интеграл, мы рассмотрим функцию \( f(x) \) и её области определения.

Функция \( f(x) \) задана кусочно:

1. \( f(x) = x \) для \( 0 \leq x \leq 1 \)
2. \( f(x) = 2 - x \) для \( 1 < x \leq 3 \)

Интеграл, который необходимо вычислить:

\[ \int_0^3 f(x) \, dx \]

Поскольку функция состоит из двух участков, разобьём интеграл на два:

\[ \int_0^3 f(x) \, dx = \int_0^1 x \, dx + \int_1^3 (2-x) \, dx \]

Теперь решим каждый из интегралов отдельно.

1. Интеграл \(\int_0^1 x \, dx\):

\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]

Подставляем пределы:

\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \]

2. Интеграл \(\int_1^3 (2-x) \, dx\):

\[ \int (2-x) \, dx = \int 2 \, dx - \int x \, dx = 2x - \frac{x^2}{2} + C \]

Подставляем пределы:

\[ \left. (2x - \frac{x^2}{2}) \right|_1^3 = \left(2 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}\right) \]

\[ = (6 - \frac{9}{2}) - (2 - \frac{1}{2}) \]

\[ = \left(6 - 4.5\right) - \left(2 - 0.5\right) \]

\[ = 1.5 - 1.5 = 0 \]

Теперь складываем результаты двух интегралов:

\[ \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} \]

Значение интеграла равно \(\frac{1}{2}\).