подберите формулу n- го члена последовательности -2/2;4/5;-6/8;8/11;-10/14

Чтобы найти формулу n-го члена последовательности (-2/2; 4/5; -6/8; 8/11; -10/14), начнем с анализа, как изменяются члены последовательности и попробуем выявить закономерности.

1. Определение последовательности:

   • У нас есть следующие члены:
     • Первый член (n=1): \(-\frac{2}{2} = -1\)
     • Второй член (n=2): \(\frac{4}{5}\)
     • Третий член (n=3): \(-\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}\)
     • Четвертый член (n=4): \(\frac{8}{11}\)
     • Пятый член (n=5): \(-\frac{10}{14} = -\frac{5}{7}\)

2. Построение общих форм:

   • Мы видим, что члены последовательности поочередно положительные и отрицательные, т.е. на четных позициях (n = 2, 4) положительные, на нечетных (n = 1, 3, 5) отрицательные. Это можно учесть через \((-1)^n\):
     • Для четных n: \((-1)^{n}\) будет положительным,
     • Для нечетных n: \((-1)^{n}\) будет отрицательным.

3. Определение числителя и знаменателя:

   • Посмотрим на числитель:
     • \(2, 4, 6, 8, 10\) в значениях можно заметить, что это числа \(2n\) (где n = 1, 2, 3, 4, 5).
     • Но у нас стоят знаки «-» для нечетных n, так что числитель можно записать как \(-2n\) для нечетных n и \(2n\) для четных n.
   • Посмотрим на знаменатель:
     • Знаменатели: 2, 5, 8, 11, 14 формируют последовательность, где каждое следующее значение увеличивается на 3.
     • Это можно представить как \(3n - 1\).

4. Составляем формулу:

   • В итоге, последовательность будет иметь вид: \[ a_n = \frac{(-1)^{n} \cdot 2n}{3n - 1} \]

5. Проверка формулы:

   • Для n=1: \(a_1 = \frac{-2 \cdot 1}{3 \cdot 1 - 1} = \frac{-2}{2} = -1\)
   • Для n=2: \(a_2 = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2 - 1} = \frac{4}{5}\)
   • Для n=3: \(a_3 = \frac{-2 \cdot 3}{3 \cdot 3 - 1} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\)
   • Для n=4: \(a_4 = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4 - 1} = \frac{8}{11}\)
   • Для n=5: \(a_5 = \frac{-2 \cdot 5}{3 \cdot 5 - 1} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7}\)

Таким образом, формула n-го члена последовательности выглядит так: \[ a_n = \frac{(-1)^{n} \cdot 2n}{3n - 1} \]