Для решения задачи начнем с нахождения площади правильного треугольника, а затем определим радиус окружности, описанной вокруг него.
Дано:
Сторона правильного треугольника ( a = 2\sqrt{6} ).
1. Нахождение площади правильного треугольника
Формула для вычисления площади ( S ) правильного треугольника со стороной ( a ) выглядит так:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставим сторону треугольника в формулу:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{6})^2
]
Сначала вычислим квадрат стороны:
[
(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24
]
Теперь подставим это значение обратно в формулу площади:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 24
]
Преобразуем:
[
S = 6\sqrt{3}
]
Итак, площадь правильного треугольника равна ( 6\sqrt{3} ).
2. Нахождение радиуса окружности, описанной вокруг треугольника
Радиус ( R ) окружности, описанной вокруг правильного треугольника, вычисляется по формуле:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Теперь подставим значение стороны:
[
R = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}
]
Упростим выражение. Мы знаем, что ( \sqrt{3} = \sqrt{3} ):
[
R = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{6}{3}} = 2 \cdot \sqrt{2}
]
Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен ( 2\sqrt{2} ).
Ответ:
- Площадь правильного треугольника: ( 6\sqrt{3} ).
- Радиус окружности, описанной вокруг треугольника: ( 2\sqrt{2} ).
