Для решения задачи сосредоточимся на свойствах графов. По определению, полный граф с ( n ) вершинами имеет максимальное количество ребер, так как каждую пару вершин соединяет ребро.
Формула для нахождения количества ребер ( E ) в полном графе с ( n ) вершинами выглядит так:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где:
- ( E ) — количество ребер,
- ( n ) — количество вершин.
В вашей задаче известно, что количество ребер ( E = 528 ). Подставим это значение в формулу:
[
528 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2 для упрощения:
[
1056 = n(n-1)
]
Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можем записать в стандартной форме:
[
n^2 - n - 1056 = 0
]
Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -1 ) и ( c = -1056 ):
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1056) = 1 + 4224 = 4225
]
Теперь вычислим корни уравнения с помощью формулы:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{4225}}{2}
]
Находим ( \sqrt{4225} ):
[
\sqrt{4225} = 65
]
Теперь можем найти значения ( n ):
[
n = \frac{1 \pm 65}{2}
]
Это уравнение приводит к двум решениям:
- ( n = \frac{66}{2} = 33 )
- ( n = \frac{-64}{2} = -32 ) (это значение нам не подходит, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Таким образом, количество вершин в полном графе составляет:
[
n = 33
]
Ответ:
Количество вершин в полном графе, имеющем 528 ребер, равно 33.
