Для решения задачи обозначим:
- ( V ) – скорость туриста на скутере от посёлка до речки (км/ч).
- ( t_1 ) – время в пути от посёлка до речки (ч).
Тогда скорость на обратном пути составит ( V - 1 ) (км/ч), а время в пути на обратном пути будет ( t_2 = t_1 + 1 ) (ч).
Согласно условию, расстояние от посёлка до речки составляет 90 км. Тогда можно записать два уравнения для времени в пути:
Для пути от посёлка до речки:
[
t_1 = \frac{90}{V}
]
Для пути обратно от речки до посёлка:
[
t_2 = \frac{90}{V - 1} = t_1 + 1
]
Теперь подставим выражение для ( t_1 ) в уравнение для ( t_2 ):
[
\frac{90}{V - 1} = \frac{90}{V} + 1
]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на ( V(V-1) ):
[
90V = 90(V - 1) + V(V - 1)
]
Раскроем скобки:
[
90V = 90V - 90 + V^2 - V
]
Упростим:
[
0 = V^2 - V - 90
]
Теперь решим квадратное уравнение:
[
V^2 - V - 90 = 0
]
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
V = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = -1, c = -90 ).
Вычислим дискриминант:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361
]
Теперь найдем ( V ):
[
V = \frac{1 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{1 \pm 19}{2}
]
Таким образом, получаем два решения:
[
V_1 = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{и} \quad V_2 = \frac{-18}{2} = -9
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, остается только ( V = 10 ) км/ч.
Теперь найдем время в пути от речки к посёлку:
[
t_2 = t_1 + 1 = \frac{90}{10} + 1 = 9 + 1 = 10 \text{ ч.}
]
Итак, ответ: турист ехал от речки к посёлку 10 часов.
