В ходе некоторого опыта событию А благоприятствуют столько элементарных событий: 24 шт., событию В — 49 шт. При этом событию АПВ благоприятствуют столько элементарных событий: 4 шт. а) Сколько элементарных событий благоприятствует событию АВ? б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию «событие А наступило, а В - нет»? в) Сколько элементарных событий благоприятствует событию «событие В наступило, а А - нет»? Для каждого случая (а, б, в) начертите круги Эйлера и заштрихуйте области, соответствующие описанным событиям. 3.

Для решения задачи будем использовать представление событий на рисунке в виде кругов Эйлера и вспомогательные формулы для работы с множествами. Мы обозначим следующее: - \( n(A) \) - количество элементарных событий, благоприятствующих событию A. - \( n(B) \) - количество элементарных событий, благоприятствующих событию B. - \( n(A \cap B) \) - количество элементарных событий, благоприятствующих одновременно событию A и событию B (пересечение двух множеств). - \( n(A \cup B) \) - количество элементарных событий, благоприятствующих хотя бы одному из событий A или B (объединение двух множеств). Данные из условия: - \( n(A) = 24 \) - \( n(B) = 49 \) - \( n(A \cap B) = 4 \) ### а) Сколько элементарных событий благоприятствует событию AB? Событию \( AB \) (то есть событию «A и B одновременно») благоприятствуют элементарные события, входящие в \( n(A \cap B) \). Поэтому: \[ n(A \cap B) = 4 \] Также для события \( A \cup B \) (то есть событию «A или B») используется формула: \[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \] Подставляем известные значения: \[ n(A \cup B) = 24 + 49 - 4 = 69 \] ### б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию «событие A наступило, а B - нет»? Это событие обозначается как \( A \cap B' \), где \( B' \) - дополнение события B. Для нахождения количества элементарных событий, благоприятствующих событию \( A \cap B' \), нужно вычесть из \( n(A) \) количество элементарных событий, соответствующих \( B \): \[ n(A \cap B') = n(A) - n(A \cap B) = 24 - 4 = 20 \] ### в) Сколько элементарных событий благоприятствует событию «событие B наступило, а A - нет»? Это событие обозначается как \( B \cap A' \), где \( A' \) - дополнение события A. Мы также вычисляем количество элементарных событий для \( B \cap A' \): \[ n(B \cap A') = n(B) - n(A \cap B) = 49 - 4 = 45 \] ### Итоговые результаты: - а) \( n(A \cap B) = 4 \) - б) \( n(A \cap B') = 20 \) - в) \( n(B \cap A') = 45 \) ### Круги Эйлера: Чтобы начертить круги Эйлера: 1. Нарисуйте два перекрывающихся круга, один для события A, другой для события B. 2. В области, где круги пересекаются, запишите 4 (это \( n(A \cap B) \)). 3. В оставшейся части круга A запишите 20 (это \( n(A \cap B') \)). 4. В оставшейся части круга B запишите 45 (это \( n(B \cap A') \)). Таким образом, у вас на рисунке будут представлены все события. Области, которые не перекрываются, означают, что эти события не происходят одновременно.