В ходе некоторого опыта событию А благоприятствуют столько элементарных событий: 24 шт., событию В — 49 шт. При этом событию АПВ благоприятствуют столько элементарных событий: 4…

Для решения задачи будем использовать представление событий на рисунке в виде кругов Эйлера и вспомогательные формулы для работы с множествами. Мы обозначим следующее:

• \( n(A) \) - количество элементарных событий, благоприятствующих событию A.
• \( n(B) \) - количество элементарных событий, благоприятствующих событию B.
• \( n(A \cap B) \) - количество элементарных событий, благоприятствующих одновременно событию A и событию B (пересечение двух множеств).
• \( n(A \cup B) \) - количество элементарных событий, благоприятствующих хотя бы одному из событий A или B (объединение двух множеств).

Данные из условия:

• \( n(A) = 24 \)
• \( n(B) = 49 \)
• \( n(A \cap B) = 4 \)

а) Сколько элементарных событий благоприятствует событию AB?

Событию \( AB \) (то есть событию «A и B одновременно») благоприятствуют элементарные события, входящие в \( n(A \cap B) \). Поэтому:

\[ n(A \cap B) = 4 \]

Также для события \( A \cup B \) (то есть событию «A или B») используется формула:

\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \]

Подставляем известные значения:

\[ n(A \cup B) = 24 + 49 - 4 = 69 \]

б) Сколько элементарных событий благоприятствует событию «событие A наступило, а B - нет»?

Это событие обозначается как \( A \cap B' \), где \( B' \) - дополнение события B. Для нахождения количества элементарных событий, благоприятствующих событию \( A \cap B' \), нужно вычесть из \( n(A) \) количество элементарных событий, соответствующих \( B \):

\[ n(A \cap B') = n(A) - n(A \cap B) = 24 - 4 = 20 \]

в) Сколько элементарных событий благоприятствует событию «событие B наступило, а A - нет»?

Это событие обозначается как \( B \cap A' \), где \( A' \) - дополнение события A. Мы также вычисляем количество элементарных событий для \( B \cap A' \):

\[ n(B \cap A') = n(B) - n(A \cap B) = 49 - 4 = 45 \]

Итоговые результаты:

• а) \( n(A \cap B) = 4 \)
• б) \( n(A \cap B') = 20 \)
• в) \( n(B \cap A') = 45 \)

Круги Эйлера:

Чтобы начертить круги Эйлера:

1. Нарисуйте два перекрывающихся круга, один для события A, другой для события B.
2. В области, где круги пересекаются, запишите 4 (это \( n(A \cap B) \)).
3. В оставшейся части круга A запишите 20 (это \( n(A \cap B') \)).
4. В оставшейся части круга B запишите 45 (это \( n(B \cap A') \)).

Таким образом, у вас на рисунке будут представлены все события. Области, которые не перекрываются, означают, что эти события не происходят одновременно.