Начертить прямоугольник с наибольшей площадью сумма длин сторон которого равна 12 см

Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью при фиксированной сумме длин сторон, можно воспользоваться формулами и некоторыми соотношениями.

Сумма длин сторон прямоугольника \( P = 2(a + b) = 12 \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника. Из этого уравнения получаем:

\[ a + b = 6 \]

Площадь прямоугольника \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = a \cdot b \]

Подставим \( b \) из уравнения \( a + b = 6 \):

\[ b = 6 - a \]

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

\[ S = a \cdot (6 - a) = 6a - a^2 \]

Эта функция \( S(a) = 6a - a^2 \) является параболой, открытой вниз, и ее максимум можно найти, взяв производную:

\[ S'(a) = 6 - 2a \]

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

\[ 6 - 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \]

Теперь найдём \( b \):

\[ b = 6 - a = 6 - 3 = 3 \]

Таким образом, максимальная площадь прямоугольника будет достигнута при \( a = 3 \) см и \( b = 3 \) см, что соответствует квадрату.

Площадь прямоугольника будет равна:

\[ S = 3 \cdot 3 = 9 \, \text{см}^2 \]

Следовательно, прямоугольник с наибольшей площадью при данной сумме длин сторон равен квадрату со сторонами по 3 см, и его площадь составляет 9 см².