Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью при фиксированной сумме длин сторон, можно воспользоваться формулами и некоторыми соотношениями.
Сумма длин сторон прямоугольника ( P = 2(a + b) = 12 ), где ( a ) и ( b ) — длины сторон прямоугольника. Из этого уравнения получаем:
[
a + b = 6
]
Площадь прямоугольника ( S ) вычисляется по формуле:
[
S = a \cdot b
]
Подставим ( b ) из уравнения ( a + b = 6 ):
[
b = 6 - a
]
Теперь подставим это значение в формулу для площади:
[
S = a \cdot (6 - a) = 6a - a^2
]
Эта функция ( S(a) = 6a - a^2 ) является параболой, открытой вниз, и ее максимум можно найти, взяв производную:
[
S'(a) = 6 - 2a
]
Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
[
6 - 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 3
]
Теперь найдём ( b ):
[
b = 6 - a = 6 - 3 = 3
]
Таким образом, максимальная площадь прямоугольника будет достигнута при ( a = 3 ) см и ( b = 3 ) см, что соответствует квадрату.
Площадь прямоугольника будет равна:
[
S = 3 \cdot 3 = 9 , \text{см}^2
]
Следовательно, прямоугольник с наибольшей площадью при данной сумме длин сторон равен квадрату со сторонами по 3 см, и его площадь составляет 9 см².
