Реши уравнение. 13 cos ⁡ 2 x = 14 + sin ⁡ 3 x − 13 sin ⁡ 2 x 13cos 2 x=14+sin3x−13sin 2 x Запиши в поле ответа значение x x в градусах, принадлежащее промежутку ( 30 0 ∘ ; 40 0 ∘…

Для решения уравнения \( 13 \cos^2 x = 14 + \sin 3x - 13 \sin^2 x \), будем использовать тригонометрические тождества и свойства.

1. Начнем с замены \(\sin^2 x\) и \(\cos^2 x\) используя тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

   • \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)
   • Подставляем это в уравнение:

   \[ 13(1 - \sin^2 x) = 14 + \sin 3x - 13 \sin^2 x \]

   Упрощаем уравнение:

   \[ 13 - 13 \sin^2 x = 14 + \sin 3x - 13 \sin^2 x \]

2. Переносим все слагаемые в одну сторону:

   \[ 13 - 14 - \sin 3x = 0 \]

   Упрощаем:

   \[ -\sin 3x = -1 \]

   Следовательно:

   \[ \sin 3x = 1 \]

3. Решаем уравнение \(\sin 3x = 1\). Это происходит при:

   \[ 3x = 90^\circ + k \cdot 360^\circ, \text{ где } k \text{ — целое число.} \]

   Разделим обе стороны на 3:

   \[ x = 30^\circ + k \cdot 120^\circ \]

4. Найдем значения \(x\) в промежутке \( (300^\circ , 400^\circ) \):

   Подставляем разные значения \(k\):

   • Для \(k = 2\):

     \[ x = 30^\circ + 2 \cdot 120^\circ = 30^\circ + 240^\circ = 270^\circ \]

   • Для \(k = 3\):

     \[ x = 30^\circ + 3 \cdot 120^\circ = 30^\circ + 360^\circ = 390^\circ \]

   Значение \(390^\circ\) находится в промежутке \( (300^\circ , 400^\circ) \), а \(270^\circ\) не подходит.

5. Проверяем на наличие других возможных значений:

   • Для \(k = 1\):

     \[ x = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ \, (\text{не подходит}) \]

   • Для \(k = 0\):

     \[ x = 30^\circ \, (\text{не подходит}) \]

Проанализировав все возможные значения, получаем:

Ответ:

\[ x = 390^\circ \]