Периметр прямоугольника равен 102 а его диагональ равна 39 найди длину и ширину прямоугольника

Для решения данной задачи, давайте обозначим длину прямоугольника как \( l \), а ширину как \( w \). ### Шаг 1: Запишем данные задачи Из условия мы знаем: 1. Периметр прямоугольника \( P = 102 \) 2. Диагональ прямоугольника \( d = 39 \) ### Шаг 2: Вспомним формулы Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \[ P = 2l + 2w \] Диагональ прямоугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора: \[ d^2 = l^2 + w^2 \] ### Шаг 3: Подставим известные значения Начнем с первого уравнения. Подставим значение периметра: \[ 102 = 2l + 2w \] Это уравнение можно упростить, разделив обе стороны на 2: \[ 51 = l + w \quad (1) \] Теперь запишем вторую формулу для диагонали: \[ 39^2 = l^2 + w^2 \] Посчитаем \( 39^2 \): \[ 1521 = l^2 + w^2 \quad (2) \] ### Шаг 4: Получим систему уравнений Теперь у нас имеется система из двух уравнений: 1. \( l + w = 51 \) (уравнение (1)) 2. \( l^2 + w^2 = 1521 \) (уравнение (2)) ### Шаг 5: Выразим одно из переменных Из уравнения (1) possiamo выразить \( w \): \[ w = 51 - l \] ### Шаг 6: Подставим \( w \) во второе уравнение Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ l^2 + (51 - l)^2 = 1521 \] Раскроем скобки: \[ l^2 + (51^2 - 102l + l^2) = 1521 \] Где \( 51^2 = 2601 \): \[ l^2 + 2601 - 102l + l^2 = 1521 \] Соберем подобные члены: \[ 2l^2 - 102l + 2601 - 1521 = 0 \] Упростим уравнение: \[ 2l^2 - 102l + 1080 = 0 \] Разделим уравнение на 2: \[ l^2 - 51l + 540 = 0 \] ### Шаг 7: Решение квадратного уравнения Теперь применим формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1, b = -51, c = 540 \). Вычислим \( D \): \[ D = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 540 = 2601 - 2160 = 441 \] ### Шаг 8: Найдем корни уравнения Теперь находим корни уравнения: \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{51 \pm \sqrt{441}}{2} \] Так как \( \sqrt{441} = 21 \): \[ l = \frac{51 \pm 21}{2} \] Получим два значения для \( l \): \[ l_1 = \frac{72}{2} = 36 \] \[ l_2 = \frac{30}{2} = 15 \] ### Шаг 9: Найдем соответствующие \( w \) Теперь найдем ширину \( w \) для каждого значения \( l \): Если \( l = 36 \): \[ w = 51 - 36 = 15 \] Если \( l = 15 \): \[ w = 51 - 15 = 36 \] ### Ответ: Длина и ширина прямоугольника: - \( l = 36 \), \( w = 15 \) (или наоборот). Таким образом, прямоугольник имеет длину 36 и ширину 15 (или длину 15 и ширину 36).