Чтобы решить задачу, начнем с разбора алгоритма, представленного исполнителем Гамма. У нас есть две команды:
- Умножить текущее число на ( b ).
- Вычесть 3 из текущего числа.
В данном случае, мы должны выяснить, какое значение ( b ) необходимо, чтобы при выполнении последовательности команд ( 21221 ) из числа ( 7 ) получить число ( 270 ).
Шаг 1: Разберем алгоритм
Давайте рассмотрим последовательность команд ( 21221 ) одну за другой, начиная с числа ( 7 ).
Команда 2: Вычитаем 3
[
7 - 3 = 4
]
Команда 1: Умножаем на ( b )
[
4 \times b
]
Команда 2: Вычитаем 3
[
4b - 3
]
Команда 2: Снова вычитаем 3
[
(4b - 3) - 3 = 4b - 6
]
Команда 1: Умножаем на ( b )
[
(4b - 6) \times b = 4b^2 - 6b
]
Шаг 2: Установим уравнение
Теперь, по условию, после выполнения команд мы должны получить ( 270 ):
[
4b^2 - 6b = 270
]
Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду
Переносим ( 270 ) влево:
[
4b^2 - 6b - 270 = 0
]
Шаг 4: Разрешим квадратное уравнение
Используем формулу квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}
]
где ( A = 4 ), ( B = -6 ), и ( C = -270 ).
Сначала найдем дискриминант:
[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-270) = 36 + 4320 = 4356
]
Теперь найдем корень из дискриминанта:
[
\sqrt{4356} = 66
]
Подставляем в формулу:
[
b = \frac{6 \pm 66}{8}
]
Решения:
1.
[
b = \frac{72}{8} = 9
]
2.
[
b = \frac{-60}{8} = -7.5 \quad \text{(нецелое и отрицательное, не подходит)}
]
Шаг 5: Проверим решение
Подходящее значение для ( b ) — это ( 9 ). Проверим, действительно ли при ( b = 9 ) из ( 7 ) получится ( 270 ):
- ( 7 - 3 = 4 )
- ( 4 \times 9 = 36 )
- ( 36 - 3 = 33 )
- ( 33 - 3 = 30 )
- ( 30 \times 9 = 270 )
Ответ
Таким образом, значение числа ( b ) равно ( 9 ).
