2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток, без…

Для решения этой задачи разобьем ее на несколько шагов. У нас есть два случая для функции \( y \):

1. Первый случай: \( y = 2x^2 + 6x + 3 \) для \( x \geq -2 \)
2. Второй случай: \( y = x + 2 \) для \( x < -2 \)

Вам нужно определить значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки. Начнем по порядку.

Шаг 1: Исследуем функцию \( y = 2x^2 + 6x + 3 \)

Первую функцию \( y = 2x^2 + 6x + 3 \) — это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при \( x^2 \) положительный).

Чтобы найти количество общих точек с прямой \( y = m \), можем приравнять их: \[ 2x^2 + 6x + 3 = m \] Перепишем в форме квадратного уравнения: \[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \]

Теперь для нахождения количества корней используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 2 \), \( b = 6 \), \( c = 3 - m \):

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) \] \[ D = 36 - 8(3 - m) \] \[ D = 36 - 24 + 8m \] \[ D = 12 + 8m \]

Парабола будет иметь ровно два пересечения с прямой, когда дискриминант положителен: \[ 12 + 8m > 0 \] \[ 8m > -12 \] \[ m > -\frac{12}{8} \] \[ m > -\frac{3}{2} \]

Шаг 2: Исследуем функцию \( y = x + 2 \)

Для второго случая, при \( x < -2 \): \[ y = x + 2 \] Приравниваем к \( y = m \): \[ x + 2 = m \] \[ x = m - 2 \]

Для того, чтобы данная прямая пересекалась с параболой, мы должны убедиться, что выполняется условие \( x < -2 \): \[ m - 2 < -2 \] \[ m < 0 \]

Шаг 3: Совместим результаты

Теперь у нас есть два неравенства:

1. \( m > -\frac{3}{2} \) (для параболы)
2. \( m < 0 \) (для прямой)

Таким образом, для \( m \) выполняется: \[ -\frac{3}{2} < m < 0 \]

Ответ

В итоге получаем промежуток для \( m \): \[ -\frac{3}{2}(0) \]

Форматируем ответ: \[ -\frac{3}{2}(0) \] или в десятичной форме: \[ -1.5(0) \]

Таким образом, ответ будет: \[ -1.5(0) \]