Периметр данного прямоугольного треугольника равен 84, а гипотенуза равна 37. Если один из катетов уменьшить на 3, а второй увеличить на 5, то гипотенуза нового треугольника будет равна 41. Найди площадь данного треугольника.

Давайте решим задачу пошагово. 1. **Обозначим катеты:** Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника, а \( c = 37 \) — гипотенуза. 2. **Составим первое уравнение по периметру:** Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон: \[ a + b + c = 84 \] Подставим значение гипотенузы: \[ a + b + 37 = 84 \] Упростим уравнение: \[ a + b = 84 - 37 = 47 \] Таким образом, у нас есть первое уравнение: \[ a + b = 47 \quad (1) \] 3. **Составим второе уравнение:** Если один катет уменьшить на 3, а второй увеличить на 5, то у нас получится новый треугольник: \[ \sqrt{(a - 3)^2 + (b + 5)^2} = 41 \] Квадрат обеих сторон даст: \[ (a - 3)^2 + (b + 5)^2 = 41^2 = 1681 \] Раскроем скобки: \[ (a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 10b + 25) = 1681 \] Упрощая, получим: \[ a^2 + b^2 - 6a + 10b + 34 = 1681 \] Теперь перенесем 1681 на другую сторону: \[ a^2 + b^2 - 6a + 10b - 1647 = 0 \quad (2) \] 4. **Используем теорему Пифагора:** Поскольку это прямоугольный треугольник, мы знаем, что: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставляем \( c = 37 \): \[ 37^2 = a^2 + b^2 \implies 1369 = a^2 + b^2 \quad (3) \] 5. **Теперь подставим (3) в (2):** Из (2) подставим \( a^2 + b^2 \): \[ 1369 - 6a + 10b - 1647 = 0 \] Упрощаем: \[ -6a + 10b - 278 = 0 \\ 10b - 6a = 278 \implies 5b - 3a = 139 \quad (4) \] 6. **Теперь у нас есть система из двух уравнений:** Уравнение (1): \[ a + b = 47 \] Уравнение (4): \[ 5b - 3a = 139 \] 7. **Решим систему:** Из (1) выразим \( b \): \[ b = 47 - a \] Подставим это значение в (4): \[ 5(47 - a) - 3a = 139 \\ 235 - 5a - 3a = 139 \\ 235 - 8a = 139 \\ 8a = 235 - 139 = 96 \\ a = 12 \] Теперь найдём \( b \): \[ b = 47 - 12 = 35 \] 8. **Теперь мы можем найти площадь треугольника:** Площадь \( S \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Подставим найденные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 210 \] Таким образом, площадь данного треугольника равна \( \boxed{210} \).