Какое утверждение верно, если окружность задана уравнением (x-5)^2+(y-3)^2=108?

Чтобы определить, какие утверждения верны относительно окружности, заданной уравнением \((x-5)^2+(y-3)^2=108\), давайте рассмотрим основные характеристики окружности.

Шаг 1: Определим параметры окружности

Уравнение окружности имеет общий вид \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) — это центр окружности, а \(r\) — радиус.

Для данного уравнения:

• Центр \((a, b)\) имеет координаты \((5, 3)\).
• Радиус \(r\) можно найти, взяв квадратный корень из 108: \[ r = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \]

Шаг 2: Проверка принадлежности точки к окружности

Утверждение о том, что точка принадлежит окружности, можно проверить, подставив ее координаты в уравнение окружности:

Точка \( (−3, −2) \):

• Подставляем координаты в уравнение: \[ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = (-3 - 5)^2 + (-2 - 3)^2 = (-8)^2 + (-5)^2 = 64 + 25 = 89 \]
• Уравнение \(89 \neq 108\), значит, точка \( (−3, −2) \) не лежит на окружности.

Вывод

• Центр окружности действительно находится в точке \((5, 3)\).
• Радиус окружности равен \(6\sqrt{3}\).
• Точка \((−3, −2)\) не принадлежит окружности, так как подстановка ее координат нарушает равенство уравнения окружности.

Таким образом, утверждения о центре и радиусе верны, а утверждение о принадлежности точки \( (−3, −2) \) к окружности — неверно.