Минимальное значение x^2 + y^2 если x^2 - y^2 + 6x + 4y +5=0

Чтобы найти минимальное значение функции \( z = x^2 + y^2 \) при заданном условии \( x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \), нам нужно воспользоваться методом Лагранжа или преобразовать уравнение в более удобный вид.

Шаг 1: Преобразуем условие

Запишем уравнение: \[ x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \]

Приведем это уравнение к более удобной форме:

1. Переносим все члены в правую сторону: \[ x^2 - y^2 + 6x + 4y = -5 \]

2. Для того, чтобы сделать это уравнение более симметричным, выделим полный квадрат:

• Для \( x^2 + 6x \): \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \]

• Для \( -y^2 + 4y \): \[ -y^2 + 4y = -\left((y - 2)^2 - 4\right) = - (y - 2)^2 + 4 \]

Подставляем в уравнение: \[ (x + 3)^2 - 9 - (y - 2)^2 + 4 = -5 \]

Упрощаем: \[ (x + 3)^2 - (y - 2)^2 - 5 = -5 \] \[ (x + 3)^2 - (y - 2)^2 = 0 \]

Шаг 2: Найдем соотношение между \( x \) и \( y \)

Теперь мы имеем: \[ (x + 3)^2 = (y - 2)^2 \]

Это уравнение дает два случая:

1. \( x + 3 = y - 2 \)
2. \( x + 3 = - (y - 2) \)

Решим каждый из них.

Случай 1:

\( x + 3 = y - 2 \)
Отсюда: \[ y = x + 5 \]

Случай 2:

\( x + 3 = - (y - 2) \)
Отсюда: \[ y = -x - 1 \]

Шаг 3: Подставим значения в \( z = x^2 + y^2 \)

Теперь подставим полученные значения для \( y \) в функцию \( z \).

Случай 1: \( y = x + 5 \) \[ z = x^2 + (x + 5)^2 = x^2 + (x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 10x + 25 \]

Случай 2: \( y = -x - 1 \) \[ z = x^2 + (-x - 1)^2 = x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x + 1 \]

Шаг 4: Найдем минимумы

Теперь найдем минимум для каждого выражения.

Случай 1: \( z = 2x^2 + 10x + 25 \) Мы можем найти минимум, используя производную:

\[ z' = 4x + 10 \]

Приравниваем к нулю: \[ 4x + 10 = 0 \] \[ x = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \]

Теперь найдем \( z \): \[ z = 2(-\frac{5}{2})^2 + 10(-\frac{5}{2}) + 25 = 2 \cdot \frac{25}{4} - 25 + 25 = \frac{50}{4} = 12.5 \]

Случай 2: \( z = 2x^2 + 2x + 1 \) \[ z' = 4x + 2 \]

Приравниваем к нулю: \[ 4x + 2 = 0 \] \[ x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Теперь найдем \( z \): \[ z = 2(-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) + 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{2} \]

Шаг 5: Сравним минимумы

Мы нашли два значения для \( z \):

1. \( 12.5 \) из случая 1
2. \( \frac{1}{2} \) из случая 2

Ответ

Таким образом, минимальное значение \( z = x^2 + y^2 \) при заданном условии равно \( \frac{1}{2} \).