Чтобы найти первый член арифметической прогрессии, давайте воспользуемся формулами для суммы членов прогрессии и свойства арифметической прогрессии.
В арифметической прогрессии:
- ( a_1 ) — первый член
- ( d ) — разность прогрессии
- ( n ) — количество членов
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)
]
Где ( S_n ) — это сумма первых ( n ) членов, ( a_1 ) — первый член, ( d ) — разность, а ( n ) — количество членов.
Из задачи у нас:
- ( d = 14 )
- ( S_{17} = -731 )
- ( n = 17 )
Теперь подставим известные значения в формулу:
[
S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + (17 - 1) \cdot 14)
]
Упростим:
[
-731 = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + 16 \cdot 14)
]
Вычислим ( 16 \cdot 14 = 224 ), и подставим это значение:
[
-731 = \frac{17}{2} \cdot (2a_1 + 224)
]
Теперь умножим обе стороны на 2 для упрощения:
[
-1462 = 17 \cdot (2a_1 + 224)
]
Или дальше, разделим обе стороны на 17:
[
-86 = 2a_1 + 224
]
Теперь изолируем ( 2a_1 ):
[
2a_1 = -86 - 224
]
[
2a_1 = -310
]
И найдем ( a_1 ), разделив на 2:
[
a_1 = \frac{-310}{2} = -155
]
Итак, первый член арифметической прогрессии ( a_1 = -155 ).
