Для решения задачи, давайте обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ).
Из условия задачи у нас есть два уравнения:
Периметр прямоугольника равен 25 см:
[
P = 2(a + b) = 25
]
Разделим обе стороны на 2:
[
a + b = \frac{25}{2} = 12.5
]
Площадь прямоугольника равна 34 квадратных метра:
[
S = a \cdot b = 34
]
Теперь мы имеем систему уравнений:
[
\begin{cases}
a + b = 12.5 \
a \cdot b = 34
\end{cases}
]
Шаг 1: Извлечем одно из значений
Из первого уравнения выразим ( b ) через ( a ):
[
b = 12.5 - a
]
Шаг 2: Подставим выражение для ( b ) во второе уравнение
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
a \cdot (12.5 - a) = 34
]
Раскроем скобки:
[
12.5a - a^2 = 34
]
Шаг 3: Приведем уравнение к квадратному виду
Перепишем уравнение:
[
-a^2 + 12.5a - 34 = 0
]
Умножим на (-1) (чтобы коэффициент при ( a^2 ) был положительным):
[
a^2 - 12.5a + 34 = 0
]
Шаг 4: Найдем дискриминант
Чтобы решить это квадратное уравнение, найдем его дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-12.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34
]
[
D = 156.25 - 136 = 20.25
]
Шаг 5: Найдем корни уравнения
Теперь, используя дискриминант, найдем корни уравнения по формуле:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12.5 \pm \sqrt{20.25}}{2}
]
Выразим ( \sqrt{20.25} ):
[
\sqrt{20.25} = 4.5
]
Теперь подставим значение в формулу:
[
a_1 = \frac{12.5 + 4.5}{2} = \frac{17}{2} = 8.5
]
[
a_2 = \frac{12.5 - 4.5}{2} = \frac{8}{2} = 4
]
Шаг 6: Найдем значение ( b )
Если ( a = 8.5 ), то ( b ):
[
b = 12.5 - 8.5 = 4
]
Если ( a = 4 ), то ( b ):
[
b = 12.5 - 4 = 8.5
]
Ответ
Стороны прямоугольника составляют:
[
a = 8.5 \text{ см и } b = 4 \text{ см} \quad \text{(или наоборот)}
]
Запомните, что порядок сторон не имеет значения, так как прямоугольник не зависит от их расположения.
