периметр прямоугольника равен 25 с, а площадь равна 34 квадратных метра. определите стороны прямоугольника
Для решения задачи, давайте обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).
Из условия задачи у нас есть два уравнения:
Периметр прямоугольника равен 25 см: \[ P = 2(a + b) = 25 \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = \frac{25}{2} = 12.5 \]
Площадь прямоугольника равна 34 квадратных метра: \[ S = a \cdot b = 34 \]
Теперь мы имеем систему уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 12.5 \\ a \cdot b = 34 \end{cases} \]
Шаг 1: Извлечем одно из значений
Из первого уравнения выразим \( b \) через \( a \): \[ b = 12.5 - a \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( b \) во второе уравнение
Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ a \cdot (12.5 - a) = 34 \] Раскроем скобки: \[ 12.5a - a^2 = 34 \]
Шаг 3: Приведем уравнение к квадратному виду
Перепишем уравнение: \[ -a^2 + 12.5a - 34 = 0 \] Умножим на \(-1\) (чтобы коэффициент при \( a^2 \) был положительным): \[ a^2 - 12.5a + 34 = 0 \]
Шаг 4: Найдем дискриминант
Чтобы решить это квадратное уравнение, найдем его дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-12.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 \] \[ D = 156.25 - 136 = 20.25 \]
Шаг 5: Найдем корни уравнения
Теперь, используя дискриминант, найдем корни уравнения по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12.5 \pm \sqrt{20.25}}{2} \]
Выразим \( \sqrt{20.25} \): \[ \sqrt{20.25} = 4.5 \]
Теперь подставим значение в формулу: \[ a_1 = \frac{12.5 + 4.5}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \] \[ a_2 = \frac{12.5 - 4.5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
Шаг 6: Найдем значение \( b \)
Если \( a = 8.5 \), то \( b \): \[ b = 12.5 - 8.5 = 4 \]
Если \( a = 4 \), то \( b \): \[ b = 12.5 - 4 = 8.5 \]
Ответ
Стороны прямоугольника составляют: \[ a = 8.5 \text{ см и } b = 4 \text{ см} \quad \text{(или наоборот)} \]
Запомните, что порядок сторон не имеет значения, так как прямоугольник не зависит от их расположения.
