Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями, предварительно сделав чертёж: y=x²+x , y=2x+2
Для решения задачи найдем площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 + x \) и \( y = 2x + 2 \). Начнем с изучения графиков этих функций для нахождения точек пересечения и дальнейшего нахождения площади.
Шаг 1: Построение графиков
График \( y = x^2 + x \):
- Это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке, которая определяется как \( x = -\frac{b}{2a} \). Для \( y = x^2 + x \), \( a = 1 \) и \( b = 1 \), поэтому \( x_{вершина} = -\frac{1}{2} = -0.5 \).
График \( y = 2x + 2 \):
- Это прямая, имеющая наклон 2 и пересекающая ось y в точке 2.
Шаг 2: Нахождение точек пересечения
Чтобы найти точки пересечения этих функций, приравняем их:
\[ x^2 + x = 2x + 2. \]
Переносим все в одну сторону уравнения:
\[ x^2 + x - 2x - 2 = 0 \]
Собираем подобные:
\[ x^2 - x - 2 = 0. \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Оно фактически преобразуется в:
\[ (x - 2)(x + 1) = 0. \]
Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -1. \]
Шаг 3: Нахождение площади ограниченной области
Теперь, когда мы знаем, что функции пересекаются в точках \( x = -1 \) и \( x = 2 \), можем найти площадь между графиками. Площадь \( S \) между кривыми вычисляется по формуле:
\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx, \]
где \( f(x) \) — выше, \( g(x) \) — ниже.
В данном случае:
- \( f(x) = 2x + 2 \) (это прямая);
- \( g(x) = x^2 + x \) (это парабола).
Теперь подставим:
\[ S = \int_{-1}^{2} ((2x + 2) - (x^2 + x)) \, dx. \]
Упростим подынтегральное выражение:
\[ S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx. \]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Теперь вычислим интеграл:
\[ S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx. \]
Сначала найдем первообразные для каждого члена:
- Первообразная \( -x^2 \) — это \( -\frac{x^3}{3} \);
- Первообразная \( x \) — это \( \frac{x^2}{2} \);
- Первообразная \( 2 \) — это \( 2x \).
Теперь мы можем записать:
\[ S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2}. \]
Вычислим пределы:
- В верхнем пределе (x=2):
\[ -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} + \frac{12}{3} = \frac{10}{3}. \]
- В нижнем пределе (x=-1):
\[ -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2. \] Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{1}{3} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} = \frac{-7}{6}. \]
Шаг 5: Подсчет площади
Теперь подставим результаты в формулу для площади:
\[ S = \left(\frac{10}{3}\right) - \left(\frac{-7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}. \]
Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель — 6:
\[ \frac{10}{3} = \frac{20}{6} \implies S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5. \]
Ответ
Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + x \) и \( y = 2x + 2 \), равна \( 4.5 \) квадратных единиц.
