Реши
Чтобы найти длину хорды, которую прямая отсекает от окружности, необходимо следовать следующему алгоритму:
Уравнение окружности:
Окружность задана уравнением \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\). Это уравнение окружности с центром в точке \(C(3, 2)\) и радиусом \(R = \sqrt{25} = 5\).
Уравнение прямой:
Прямая задана уравнением \(y = x - 6\).
Нахождение точек пересечения:
Подставим выражение для \(y\) из уравнения прямой в уравнение окружности:
\[ (x - 3)^2 + ((x - 6) - 2)^2 = 25 \]
Упростим выражение:
\[ (x - 3)^2 + (x - 8)^2 = 25 \]
Раскроем скобки:
\[ (x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 16x + 64) = 25 \]
Объединим и упростим уравнение:
\[ 2x^2 - 22x + 73 = 25 \]
\[ 2x^2 - 22x + 48 = 0 \]
Разделим все на 2:
\[ x^2 - 11x + 24 = 0 \]
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 24\).
\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2} \]
\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2} \]
\[ x = \frac{11 \pm 5}{2} \]
Таким образом, \(x_1 = 8\) и \(x_2 = 3\).
Нахождение длин отрезков:
Для найденных \(x\) координаты \(y\) будут:
\[ y_1 = 8 - 6 = 2 \]
\[ y_2 = 3 - 6 = -3 \]
Найдем длину хорды, используя расстояние между точками \((8, 2)\) и \((3, -3)\):
\[ L = \sqrt{(8 - 3)^2 + (2 - (-3))^2} \]
\[ L = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} \]
\[ L = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
Таким образом, длина хорды равна \(5\sqrt{2}\). Правильный ответ: \(\boxed{5\sqrt{2}}\).
