В параллелограмме A B C D \displaystyle ABCD ABCD со сторонами A B = 4 \displaystyle AB=4 AB=4 и B C = 3 \displaystyle BC=3 BC=3 и диагональю A C = 6 \displaystyle AC=6 AC=6…

Чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OD}\) в параллелограмме ABCD, воспользуемся свойствами диагоналей и векторов. В параллелограмме точки пересечения диагоналей делят их пополам. Давайте решим задачу по шагам.

Шаг 1: Расположение точек

Сначала обозначим координаты точек в параллелограмме ABCD:

• Пусть \(A(0, 0)\).
• Точка \(B(4, 0)\) (так как \(AB = 4\)).
• Точка \(C(4 + x, y)\) и \(D(x, y)\), где \(BC = 3\).

Шаг 2: Определение координат точки C и D

Мы знаем, что диагональ \(AC = 6\). Для нахождения точек \(C\) и \(D\), используем расстояния. Используем формулу расстояния для точки \(C\): \[ AC = \sqrt{(4 + x - 0)^2 + (y - 0)^2} = 6 \] Квадрат обеих сторон даст: \[ (4 + x)^2 + y^2 = 36 \] Также у нас есть длина \(BC\): \[ BC = \sqrt{(4 - (4 + x))^2 + (0 - y)^2} = 3 \] Квадрат обеих сторон: \[ (-x)^2 + y^2 = 9. \] Таким образом, у нас есть система уравнений:

1. \( (4 + x)^2 + y^2 = 36 \)
2. \( x^2 + y^2 = 9 \)

Шаг 3: Решение системы уравнений

Из второго уравнения можем выразить \(y^2\): \[ y^2 = 9 - x^2 \] Подставим это значение во первое уравнение: \[ (4 + x)^2 + (9 - x^2) = 36 \] Раскроем скобки: \[ 16 + 8x + x^2 + 9 - x^2 = 36 \] Сократим \(x^2\): \[ 25 + 8x = 36 \implies 8x = 11 \implies x = \frac{11}{8} \]

Теперь найдем \(y^2\): \[ y^2 = 9 - \left(\frac{11}{8}\right)^2 = 9 - \frac{121}{64} = \frac{576 - 121}{64} = \frac{455}{64} \] \[ y = \sqrt{\frac{455}{64}} = \frac{\sqrt{455}}{8}. \]

Шаг 4: Определение координат

Теперь у нас:

• \(A(0, 0)\)
• \(B(4, 0)\)
• \(C\left(4 + \frac{11}{8}, \frac{\sqrt{455}}{8}\right)\)
• \(D\left(\frac{11}{8}, \frac{\sqrt{455}}{8}\right)\)

Шаг 5: Найдем точки O

Так как diagonals пересекаются в точке O, то: \[ O = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{0 + \left(4 + \frac{11}{8}\right)}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{455}}{8}}{2}\right) \] \[ O = \left(\frac{4 + \frac{11}{8}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{455}}{8}}{2}\right) = \left(\frac{\frac{32}{8} + \frac{11}{8}}{2}, \frac{\sqrt{455}}{16}\right) = \left(\frac{43/8}{2}, \frac{\sqrt{455}}{16}\right) = \left(\frac{43}{16}, \frac{\sqrt{455}}{16}\right). \]

Шаг 6: Находится вектор

\[ \overrightarrow{AO} = \left(\frac{43}{16}, \frac{\sqrt{455}}{16}\right), \quad \overrightarrow{OD} = \left(\frac{11}{8} - \frac{43}{16}, \frac{\sqrt{455}}{8} - \frac{\sqrt{455}}{16}\right) \] Упростим вторую координату: \[ \overrightarrow{OD} = \left(\frac{11}{8} - \frac{43}{16}, \frac{\sqrt{455}}{8} - \frac{\sqrt{455}}{16}\right) \implies \left(\frac{22}{16} - \frac{43}{16}, \frac{2\sqrt{455}}{16} - \frac{\sqrt{455}}{16}\right) \] \[ = \left(\frac{-21}{16}, \frac{\sqrt{455}}{16}\right) \]

Шаг 7: Находим \(\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OD}\)

Теперь вычислим \( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OD} \): \[ \left(\frac{43}{16}, \frac{\sqrt{455}}{16}\right) - \left(\frac{-21}{16}, \frac{\sqrt{455}}{16}\right) = \left(\frac{43 + 21}{16}, 0\right) = \left(\frac{64}{16}, 0\right) = (4, 0). \]

Шаг 8: Длина вектора

Теперь находим длину этого вектора: \[ ||\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OD}|| = \sqrt{(4)^2 + (0)^2} = 4. \]

Ответ

Длина вектора \(\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OD}\) равна 4.