Высота, проведённая из прямого угла треугольника DF T, равна 30. Найди гипотенузу треугольника DFT, если один из его катетов равен 34
Чтобы найти гипотенузу треугольника DFT, используя известные данные, давайте обратим внимание на свойства прямоугольного треугольника. В данном случае мы знаем высоту (h) из прямого угла, равную 30, и один из катетов (a), равный 34.
Шаг 1: Обозначим элементы треугольника
Пусть:
- \( DF \) — один из катетов, равный 34.
- \( FT \) — второй катет, который мы обозначим как \( b \).
- \( DT \) — гипотенуза, которую необходимо найти и обозначим ее как \( c \).
Шаг 2: Используем формулу для площади треугольника
Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:
- С использованием катетов:
\[ S = \frac{a \cdot b}{2} \] - С использованием высоты и гипотенузы:
\[ S = \frac{h \cdot c}{2} \]
Шаг 3: Подставляем известные данные
Поскольку первый способ связан с двумя катетами, а второй — с высотой и гипотенузой, мы можем приравнять обе формулы, так как они описывают одну и ту же площадь треугольника:
\[ \frac{34 \cdot b}{2} = \frac{30 \cdot c}{2} \]
Шаг 4: Упростим уравнение
Сократим обе стороны на 2:
\[ 34b = 30c \]
Теперь выразим \( b \) через \( c \):
\[ b = \frac{30c}{34} = \frac{15c}{17} \]
Шаг 5: Используем теорему Пифагора
Так как DFT — прямоугольный треугольник, применим теорему Пифагора, которая гласит:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим найденное значение \( b \):
\[ c^2 = 34^2 + \left(\frac{15c}{17}\right)^2 \]
Шаг 6: Подставим значения
Теперь высчитаем \( 34^2 \) и \( \left(\frac{15c}{17}\right)^2 \):
\[ 34^2 = 1156 \]
\[ \left(\frac{15c}{17}\right)^2 = \frac{225c^2}{289} \]
Теперь у нас есть:
\[ c^2 = 1156 + \frac{225c^2}{289} \]
Шаг 7: Умножим уравнение на 289 для устранения дробей
Умножим обе стороны на 289:
\[ 289c^2 = 1156 \cdot 289 + 225c^2 \]
Шаг 8: Переносим все на одну сторону уравнения
\[ 289c^2 - 225c^2 = 1156 \cdot 289 \]
\[ 64c^2 = 1156 \cdot 289 \]
Шаг 9: Вычислите величину \( c \)
Теперь можем выразить \( c^2 \):
\[ c^2 = \frac{1156 \cdot 289}{64} \] Вычисляем значения:
- \( 1156 \cdot 289 = 334684 \)
- \( 64 = 8^2 \)
Подставим и найдём \( c \):
\[ c^2 = \frac{334684}{64} \]
Вычисляя:
\[ c^2 = 5233.515625 \]
Так как \( c \) — это гипотенуза:
\[ c = \sqrt{5233.515625} \approx 72.3 \]
Ответ
Гипотенуза треугольника DFT равна approximately 72.3.
