Даны векторы n → n ( 1 , 1 ; − 5 ) (1,1;−5) и m → m ( − 2 , 25 ; − 2 ) (−2,25;−2) . Найди скалярное произведение векторов 2 2 ⋅ ⋅ n → n и 4 4 ⋅ ⋅ m → m .

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, нужно воспользоваться формулой:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \]

где \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) — это компоненты векторов.

Дано:

Векторы: \[ \vec{n} = (1, 1, -5) \] \[ \vec{m} = (-2, 25, -2) \]

Теперь, нам нужно сначала умножить векторы на соответствующие коэффициенты: \[ \vec{n}' = 2 \cdot \vec{n} = 2 \cdot (1, 1, -5) = (2, 2, -10) \] \[ \vec{m}' = 4 \cdot \vec{m} = 4 \cdot (-2, 25, -2) = (-8, 100, -8) \]

Скалярное произведение:

Теперь, используя формулу для скалярного произведения, найдем \(\vec{n}' \cdot \vec{m}'\): \[ \vec{n}' \cdot \vec{m}' = (2) \cdot (-8) + (2) \cdot (100) + (-10) \cdot (-8) \]

Теперь посчитаем каждое из выражений отдельно:

1. \(2 \cdot (-8) = -16\)
2. \(2 \cdot 100 = 200\)
3. \(-10 \cdot (-8) = 80\)

Теперь сложим все эти результаты: \[ \vec{n}' \cdot \vec{m}' = -16 + 200 + 80 \]

Складываем: \[ -16 + 200 = 184 \] \[ 184 + 80 = 264 \]

Ответ:

Скалярное произведение векторов \(2 \cdot \vec{n}\) и \(4 \cdot \vec{m}\) равно \(264\).