Для решения задачи, где мы знаем значение косинуса и хотим найти синус, используем тригонометрическую идентичность. В частности, мы будем использовать основное тригонометрическое соотношение:
[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
]
В нашей задаче дано, что (\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}). Первым шагом будет подставить это значение в уравнение:
- Подставим значение косинуса:
[
\sin^2 \theta + \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1
]
- Возведем косинус в квадрат:
[
\sin^2 \theta + \frac{5}{9} = 1
]
- Вычтем (\frac{5}{9}) из обеих сторон уравнения:
[
\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{9}
]
- Приведем 1 к общему знаменателю:
[
1 = \frac{9}{9} \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}
]
- Теперь найдем синус:
Для этого возьмем корень из обеих сторон:
[
\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}
]
- Выбор знака:
Знак синуса ((+) или (-)) зависит от квадранта, в котором находится угол (\theta):
- Если (\theta) находится в первом или втором квадранте, то (\sin \theta) будет положительным ((+)).
- Если в третьем или четвертом квадранте, то (\sin \theta) будет отрицательным ((-)).
Однако, без дополнительной информации о том, в каком квадранте находится угол, мы можем записать final ответ как:
[
\sin \theta = \frac{2}{3} \quad \text{или} \quad \sin \theta = -\frac{2}{3}
]
Вот и решение! Если нужны дополнительные пояснения или есть вопросы, дайте знать!
