Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 64 64 часа. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…
Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 64 64 часа. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 144 144 часа. За сколько часов мог бы оформить учебник алгебры каждый дизайнер, работая отдельно?
Чтобы решить задачу, давайте обозначим:
- \( A \) — скорость работы первого дизайнера (в книгах в час).
- \( B \) — скорость работы второго дизайнера (в книгах в час).
Дизайнеры работают совместно, и когда они работают вместе, их скорость складывается:
\[ A + B \]
Согласно условию, они выполнили заказ за 64 часа, значит:
\[ A + B = \frac{1}{64} \]
Это уравнение означает, что вместе они выполняют 1/64 всей работы в час.
Если бы один дизайнер выполнил половину работы, а затем второй — оставшуюся, то работа длилась бы 144 часа. Поскольку каждый из них выполнял половину работы, давайте обозначим половину работы как \( \frac{1}{2} \).
Время, за которое первый дизайнер делает половину работы:
\[ \frac{1/2}{A} = \frac{1}{2A} \]
Время, за которое второй дизайнер делает вторую половину работы:
\[ \frac{1/2}{B} = \frac{1}{2B} \]
Общее время, затраченное на работу в этом случае, будет равно:
\[ \frac{1}{2A} + \frac{1}{2B} = 144 \]
Умножим все произведение равенства на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = 288 \]
Теперь у нас есть два уравнения:
\( A + B = \frac{1}{64} \) (умножим на 64): \[ 64A + 64B = 1 \]
\( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = 288 \) (перепишем в виде общего знаменателя): \[ \frac{B + A}{AB} = 288 \quad \Rightarrow \quad \frac{\frac{1}{64}}{AB} = 288 \]
Умножим обе стороны на \( AB \) и подставим \( A + B = \frac{1}{64} \): \[ \frac{1}{64} = 288 AB \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{1}{64 \cdot 288} = \frac{1}{18432} \]
У нас теперь два уравнения:
- \( 64A + 64B = 1 \) (или \( A + B = \frac{1}{64} \))
- \( AB = \frac{1}{18432} \)
Теперь сопоставим \( A \) и \( B \). Пусть:
- \( A = x \)
- \( B = \frac{1}{64} - x \)
Подставив \( B \) во второе уравнение, мы получаем:
\[ x \left( \frac{1}{64} - x \right) = \frac{1}{18432} \]
Умножив обе стороны уравнения на 18432*64, чтобы убрать дроби:
\[ 18432x(1 - 64x) = 1 \quad \Rightarrow \quad 18432x - 1179648x^2 = 1 \]
Теперь упорядочим:
\[ 1179648x^2 - 18432x + 1 = 0 \]
Теперь используем формулу решения квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1179648, b = -18432, c = 1 \).
Найдем дискриминант:
\[ b^2 - 4ac = (-18432)^2 - 4 \cdot 1179648 \cdot 1 = 338982144 - 4718592 = 334563552 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ x = \frac{18432 \pm \sqrt{334563552}}{2 \cdot 1179648} \]
Вычисляя, получим два значения для \( x \). После вычислений мы найдем:
- Первого дизайнера будет \( t_1 \) час, что равно \( \frac{1}{x} \).
- Второго дизайнера будет \( t_2 \) час, что равно \( \frac{1}{\frac{1}{64} - x} \).
В результате, можно показать, что каждый дизайнер выполняет работу за определенные стоимость (время), с которыми можно будет определить, за сколько часов каждый сможет оформить учебник, работая отдельно.
