Чтобы решить задачу, давайте обозначим:
- ( A ) — скорость работы первого дизайнера (в книгах в час).
- ( B ) — скорость работы второго дизайнера (в книгах в час).
Дизайнеры работают совместно, и когда они работают вместе, их скорость складывается:
[
A + B
]
Согласно условию, они выполнили заказ за 64 часа, значит:
[
A + B = \frac{1}{64}
]
Это уравнение означает, что вместе они выполняют 1/64 всей работы в час.
Если бы один дизайнер выполнил половину работы, а затем второй — оставшуюся, то работа длилась бы 144 часа. Поскольку каждый из них выполнял половину работы, давайте обозначим половину работы как ( \frac{1}{2} ).
Время, за которое первый дизайнер делает половину работы:
[
\frac{1/2}{A} = \frac{1}{2A}
]
Время, за которое второй дизайнер делает вторую половину работы:
[
\frac{1/2}{B} = \frac{1}{2B}
]
Общее время, затраченное на работу в этом случае, будет равно:
[
\frac{1}{2A} + \frac{1}{2B} = 144
]
Умножим все произведение равенства на 2, чтобы избавиться от дробей:
[
\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = 288
]
Теперь у нас есть два уравнения:
( A + B = \frac{1}{64} ) (умножим на 64):
[
64A + 64B = 1
]
( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = 288 ) (перепишем в виде общего знаменателя):
[
\frac{B + A}{AB} = 288 \quad \Rightarrow \quad \frac{\frac{1}{64}}{AB} = 288
]
Умножим обе стороны на ( AB ) и подставим ( A + B = \frac{1}{64} ):
[
\frac{1}{64} = 288 AB \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{1}{64 \cdot 288} = \frac{1}{18432}
]
У нас теперь два уравнения:
- ( 64A + 64B = 1 ) (или ( A + B = \frac{1}{64} ))
- ( AB = \frac{1}{18432} )
Теперь сопоставим ( A ) и ( B ). Пусть:
- ( A = x )
- ( B = \frac{1}{64} - x )
Подставив ( B ) во второе уравнение, мы получаем:
[
x \left( \frac{1}{64} - x \right) = \frac{1}{18432}
]
Умножив обе стороны уравнения на 18432*64, чтобы убрать дроби:
[
18432x(1 - 64x) = 1 \quad \Rightarrow \quad 18432x - 1179648x^2 = 1
]
Теперь упорядочим:
[
1179648x^2 - 18432x + 1 = 0
]
Теперь используем формулу решения квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1179648, b = -18432, c = 1 ).
Найдем дискриминант:
[
b^2 - 4ac = (-18432)^2 - 4 \cdot 1179648 \cdot 1 = 338982144 - 4718592 = 334563552
]
Теперь подставим в формулу:
[
x = \frac{18432 \pm \sqrt{334563552}}{2 \cdot 1179648}
]
Вычисляя, получим два значения для ( x ). После вычислений мы найдем:
- Первого дизайнера будет ( t_1 ) час, что равно ( \frac{1}{x} ).
- Второго дизайнера будет ( t_2 ) час, что равно ( \frac{1}{\frac{1}{64} - x} ).
В результате, можно показать, что каждый дизайнер выполняет работу за определенные стоимость (время), с которыми можно будет определить, за сколько часов каждый сможет оформить учебник, работая отдельно.
