Для решения задачи о полном графе необходимо знать свойства полного графа. Полный граф — это граф, в котором существует ребро между каждой парой вершин. Обозначим число вершин графа как ( n ).
Количество рёбер в полном графе можно вычислить по формуле:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( E ) — количество рёбер, ( n ) — количество вершин. В данной задаче нам известно, что количество рёбер ( E = 378 ).
Теперь подставим это значение в формулу и решим уравнение для нахождения ( n ):
[
\frac{n(n-1)}{2} = 378
]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
[
n(n-1) = 756
]
Теперь это уравнение можно представить как квадратное:
[
n^2 - n - 756 = 0
]
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае:
- ( a = 1 )
- ( b = -1 )
- ( c = -756 )
Теперь подставляем значения в формулу:
[
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-756)}}{2 \cdot 1}
]
Упрощаем:
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3024}}{2}
]
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{3025}}{2}
]
Находим ( \sqrt{3025} = 55 ):
[
n = \frac{1 \pm 55}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения для ( n ):
- ( n = \frac{1 + 55}{2} = \frac{56}{2} = 28 )
- ( n = \frac{1 - 55}{2} = \frac{-54}{2} = -27 ) (это значение не имеет смысла, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Таким образом, количество вершин ( n ) в полном графе равно 28.
Ответ: 28 вершин.
