Функция ( y = \frac{2}{(x+1)^2} ) является дробной. Чтобы понять, является ли эта функция непрерывной в точке ( x = 0 ), нам необходимо проверить несколько условий.
Шаг 1: Проверка определения точки непрерывности
Функция ( f(x) ) называется непрерывной в точке ( a ), если выполняются три условия:
- Значение функции в этой точке существует: ( f(a) ) определено.
- Существует предел функции при подходе к этой точке: ( \lim_{x \to a} f(x) ) существует.
- Предел функции равен значению функции в этой точке: ( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) ).
Шаг 2: Найдём значение функции в точке ( x = 0 )
Подставим ( x = 0 ) в функцию:
[
f(0) = \frac{2}{(0 + 1)^2} = \frac{2}{1} = 2
]
Шаг 3: Найдём предел функции при ( x \to 0 )
Теперь вычислим предел:
[
\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2}{(x + 1)^2}
]
Когда ( x ) стремится к ( 0 ), в числителе остается ( 2 ), а в знаменателе:
[
\lim_{x \to 0} (x + 1)^2 = (0 + 1)^2 = 1
]
Таким образом, предел равен:
[
\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2}{1} = 2
]
Шаг 4: Сравнение предела и значения функции
Мы имеем:
[
f(0) = 2 \quad \text{и} \quad \lim_{x \to 0} f(x) = 2
]
Так как предел функции равен значению функции в данной точке, функция не имеет разрыва в точке ( x = 0 ).
Ответ
Функция ( y = \frac{2}{(x+1)^2} ) является непрерывной в точке ( x = 0 ).
График функции
Функция ( y = \frac{2}{(x+1)^2} ) не имеет точек разрыва, и её график выглядит следующим образом:
- График асимптотично приближается к оси ( y ), но не пересекает её, так как для всех ( x ) значение функции положительно.
- В точке ( x = -1 ) функция имеет вертикальную асимптоту (разрыв второго рода), так как в этой точке ( (x + 1)^2 = 0 ).
На графике это будет выглядеть так:
- В точке ( (-1, \infty) ) имеется асимптота, а в остальной части график будет плавно спадать к оси ( x ) с обеих сторон.
Если вы хотите, я могу помочь с более сложным графическим сюжетом или другой дополнительной информацией.
