y=2/(x+1)^2 является ли данная функция непрерывной в точке x 0 ? В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва. Построить график в окрестности точек разрыва…

Функция \( y = \frac{2}{(x+1)^2} \) является дробной. Чтобы понять, является ли эта функция непрерывной в точке \( x = 0 \), нам необходимо проверить несколько условий.

Шаг 1: Проверка определения точки непрерывности

Функция \( f(x) \) называется непрерывной в точке \( a \), если выполняются три условия:

1. Значение функции в этой точке существует: \( f(a) \) определено.
2. Существует предел функции при подходе к этой точке: \( \lim_{x \to a} f(x) \) существует.
3. Предел функции равен значению функции в этой точке: \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).

Шаг 2: Найдём значение функции в точке \( x = 0 \)

Подставим \( x = 0 \) в функцию: \[ f(0) = \frac{2}{(0 + 1)^2} = \frac{2}{1} = 2 \]

Шаг 3: Найдём предел функции при \( x \to 0 \)

Теперь вычислим предел: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2}{(x + 1)^2} \] Когда \( x \) стремится к \( 0 \), в числителе остается \( 2 \), а в знаменателе: \[ \lim_{x \to 0} (x + 1)^2 = (0 + 1)^2 = 1 \] Таким образом, предел равен: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2}{1} = 2 \]

Шаг 4: Сравнение предела и значения функции

Мы имеем: \[ f(0) = 2 \quad \text{и} \quad \lim_{x \to 0} f(x) = 2 \] Так как предел функции равен значению функции в данной точке, функция не имеет разрыва в точке \( x = 0 \).

Ответ

Функция \( y = \frac{2}{(x+1)^2} \) является непрерывной в точке \( x = 0 \).

График функции

Функция \( y = \frac{2}{(x+1)^2} \) не имеет точек разрыва, и её график выглядит следующим образом:

1. График асимптотично приближается к оси \( y \), но не пересекает её, так как для всех \( x \) значение функции положительно.
2. В точке \( x = -1 \) функция имеет вертикальную асимптоту (разрыв второго рода), так как в этой точке \( (x + 1)^2 = 0 \).

На графике это будет выглядеть так:

• В точке \( (-1, \infty) \) имеется асимптота, а в остальной части график будет плавно спадать к оси \( x \) с обеих сторон.

Если вы хотите, я могу помочь с более сложным графическим сюжетом или другой дополнительной информацией.