В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

Чтобы найти площадь трапеции ABCD, следуем следующим шагам:

1. Определим обозначения и связи сторон трапеции:

   • Пусть основание BC = x.
   • Тогда основание AD = 2x (вдвое больше, чем BC).
   • Так как AD вдвое больше боковой стороны CD, то CD = x (т.е. боковая сторона равна BC).

2. Составим геометрическую модель трапеции:

   • У нас есть трапеция ABCD с основаниями AD и BC, боковыми сторонами AB и CD, где:
     • AD = 2x
     • BC = x
     • CD = x (так как CD = BC).
     • Угол ADC = 60°.

3. Найдём высоту трапеции, используя треугольник ADC:

   • В треугольнике ADC угол ACD = 60°, и CD = x.

   • Высоту h из вершины C опустим на основание AD. Обозначим точку падения высоты (перпендикуляра) на AD как H.

   • В треугольнике ACD (прямоугольном) по теореме синусов или тригонометрии можем выразить высоту h:

     • Мы знаем, что в треугольнике:

     \[ \sin(60°) = \frac{h}{CD} = \frac{h}{x} \]

   • Следовательно:

   \[ h = x \cdot \sin(60°) = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

4. Найдём длину основания AD:

   • Мы уже определили, что AD = 2x.

5. Посчитаем площадь трапеции ABCD:

   • Формула для площади трапеции:

   \[ S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} \]

   • Подставляем значения:

   \[ S = \frac{(2x + x) \cdot \left(x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2} \]

   • Теперь упрощаем:

   \[ S = \frac{(3x) \cdot (x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}{2} = \frac{3x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} x^2 \]

6. Теперь найдем значение x, используя сторону AB:

   • Длина стороны AB = 2 (по условию).
   • В треугольнике ADB (где AB = 2, AD = 2x и угол ADB = 60°):
   • Используем закон косинусов для нахождения стороны AD:

   \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(60°) \]

7. Определим BD:

   • BD = x по аналогии с CD (из строительства трапеции).
   • Подставляем значения:

   \[ 2^2 = (2x)^2 + x^2 - 2 \cdot (2x) \cdot x \cdot \frac{1}{2} \]

   \[ 4 = 4x^2 + x^2 - 2x^2 \]

   \[ 4 = 3x^2 \]

   \[ x^2 = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

8. Подставляем значение x обратно в площадь:

   \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}. \]

9. Ответ: Площадь трапеции ABCD равна \(\sqrt{3}\) квадратных единиц.