Найди точки пересечения окружности, заданной уравнением ( x − 5 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 36 (x−5) 2 +(y+4) 2 =36 , с осями координат.
Давайте решим задачу о нахождении точек пересечения окружности с осями координат.
Дано уравнение окружности:
\[ (x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 36 \]
Здесь центр окружности находится в точке \((5, -4)\), а радиус окружности равен \(r = \sqrt{36} = 6\).
Поиск точек пересечения с осями координат
Пересечение с осью X (y = 0)
Чтобы найти точки пересечения с осью X, подставим \(y = 0\) в уравнение окружности:
\[ (x - 5)^2 + (0 + 4)^2 = 36 \] \[ (x - 5)^2 + 16 = 36 \] \[ (x - 5)^2 = 36 - 16 \] \[ (x - 5)^2 = 20 \] Теперь извлекаем корень:
\[ x - 5 = \pm \sqrt{20} \] \[ x - 5 = \pm 2\sqrt{5} \] Теперь решаем для \(x\):
\[ x = 5 \pm 2\sqrt{5} \]
Таким образом, точки пересечения с осью X следующие:
\[ \left(5 + 2\sqrt{5}, 0\right) \quad \text{и} \quad \left(5 - 2\sqrt{5}, 0\right) \]
Пересечение с осью Y (x = 0)
Теперь найдем точки пересечения с осью Y, подставив \(x = 0\) в уравнение окружности:
\[ (0 - 5)^2 + (y + 4)^2 = 36 \] \[ 25 + (y + 4)^2 = 36 \] \[ (y + 4)^2 = 36 - 25 \] \[ (y + 4)^2 = 11 \]
Извлекаем корень:
\[ y + 4 = \pm \sqrt{11} \] Решаем для \(y\):
\[ y = -4 \pm \sqrt{11} \]
Таким образом, точки пересечения с осью Y следующие:
\[ \left(0, -4 + \sqrt{11}\right) \quad \text{и} \quad \left(0, -4 - \sqrt{11}\right) \]
Ответ
Итак, точки пересечения окружности с осями координат:
С осью X:
- \(\left(5 + 2\sqrt{5}, 0\right)\)
- \(\left(5 - 2\sqrt{5}, 0\right)\)
С осью Y:
- \(\left(0, -4 + \sqrt{11}\right)\)
- \(\left(0, -4 - \sqrt{11}\right)\)
Теперь у вас есть все точки пересечения окружности с координатными осями! Если что-то непонятно, спрашивайте!
