В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 3 см, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 60°. Найдите тангенс угла между боковой гранью и…

Чтобы найти тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды, следуем пошагово:

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть правильная шестиугольная пирамида. Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной 3 см. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 60°.

Шаг 2: Визуализация

Представим пирамиду. Нижняя часть — правильный шестиугольник, а в верхней точке находится вершина пирамиды. Каждое боковое ребро соединяет вершину с одной из вершин основания.

Шаг 3: Рассмотрение бокового ребра

Боковое ребро наклоняется под углом 60° к плоскости основания. Чтобы понять, как найти нужный тангенс, полезно рассмотреть плоскость боковой грани и плоскость основания.

Шаг 4: Обозначение и вспомогательные элементы

Обозначим:

• V — вершина пирамиды.
• A — одна из вершин основания (находится в плоскости основания).
• H — проекция точки V на плоскость основания.

Шаг 5: Определение высоты

Сначала найдем высоту пирамиды (VH). Используем свойства треугольника VHA, где:

• VA — боковое ребро.
• AH — проекция основания.

В треугольнике VHA угол VHA = 60°. Из треугольника можно выразить высоту (VH) через длину бокового ребра (VA):

\[ \tan(60°) = \frac{VH}{AH} \]

Также, длина бокового ребра можно найти. В правильном шестиугольнике регулярная высота шестиугольника (то есть расстояние от центра основания до одной из вершин) равна:

\[ AH = R = \frac{s}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1.732 \text{ см} \]

Шаг 6: Вычисление высоты

Используя значение AH, найдем VH:

\[ \frac{VH}{\sqrt{3}} = \tan(60°) = \sqrt{3} \]

Отсюда:

\[ VH = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \text{ см} \]

Шаг 7: То, что нас интересует

Теперь мы можем найти угол между боковой гранью и плоскостью основания. Это будет угол VHA, где H – эта проекция.

Шаг 8: Применение тригонометрии для нахождения тангенса угла

В треугольнике VHA у нас есть:

• VH (высота) = 3 см,
• AH (горизонтальная проекция) = \(\sqrt{3}\) см.

Мы ищем тангенс угла между боковой гранью (VA) и плоскостью основания (VHA):

\[ \tan(\phi) = \frac{VH}{AH} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

Итог

Итак, тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды равен \(\sqrt{3}\).