Определите количество шестизначных шестеричных чисел, в записи которых ровно две цифры "2", при этом никакая нечётная цифра не стоит рядом с цифрой 2.

Для решения этой задачи начнем с понимания условий. Мы ищем количество шестизначных шестеричных чисел (то есть чисел, записанных в системе счисления с основанием 6), в которых ровно две цифры "2", и никакая нечётная цифра не может стоять рядом с цифрой "2".

Шестеричная система

В шестеричной системе используются цифры от 0 до 5. Поэтому нечётные цифры в этой системе — это 1, 3 и 5, а чётные цифры — это 0, 2 и 4.

Шаг 1: Расстановка цифр "2"

Сначала выберем позиции для десятичных цифр "2". У нас 6 позиций и нужно выбрать 2 из них для цифр "2". Это можно сделать с помощью комбинаций:

\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]

Таким образом, существует 15 способов разместить цифры "2".

Шаг 2: Заполнение остальных позиций

Теперь нам нужно заполнить оставшиеся 4 позиции, в которых не могут стоять нечётные цифры (1, 3, 5) рядом с "2". Это значит, что они могут быть заполнены чёткими цифрами (0, 2, 4), но "2" уже занято, и одна из позиций будет занята.

Таким образом, на каждую из оставшихся 4 позиций могут стоять цифры 0 или 4. Число вариантов для каждой из оставшихся 4 позиций будет 2 (возможные цифры - 0 или 4).

Таким образом, количество вариантов для остальных 4 позиций:

\[ 2^4 = 16 \]

Шаг 3: Учет начальных нулей

Поскольку мы занимаемся шестизначными числами, то в первой позиции не может стоять "0" (если позиция считается первой). Следовательно, исключим случай, когда первая позиция оказывается "0".

Случай 1: Первая позиция не "0"

Если первая позиция не "0", то она может быть "2" (что невозможно, так как у нас уже есть 2) или "4". Таким образом, это добавляет еще 1 выбор для заполнения первой позиции.

Следовательно, у нас будет 2 оставшиеся позиции и 2 (четные): [0, 4].

Для двух оставшихся позиций:

\[ 2^3 = 8 \]

Тогда общее число шестеричных чисел, для первой позиции "4":

\[ 1 \cdot 2^3 \cdot C(6, 2) = 1 \cdot 8 \cdot 15 = 120 \]

Случай 2: Первая позиция "0"

Мы уже оценили, что первой цифрой не может быть "0", поэтому эта ситуация не учитывается.

Итого

В итоге общее количество шестизначных шестеричных чисел с ровно двумя "2", но не имеющих нечетные цифры по соседству:

120 вариантов.

Таким образом, ответ: 120.