Дано: sin y= 1/3 найти cos y, tg y, ctg y

Чтобы найти значения \( \cos y \), \( \tan y \) и \( \cot y \) при условии, что \( \sin y = \frac{1}{3} \), следуем поэтапно: ### Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество Мы знаем, что для любого угла \( y \ выполняется следующее тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \] ### Шаг 2: Находим \( \cos y \) Подставим \( \sin y \): \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 y = 1 \] Это упростим: \[ \frac{1}{9} + \cos^2 y = 1 \] Теперь вычтем \( \frac{1}{9} \) из обеих частей уравнения: \[ \cos^2 y = 1 - \frac{1}{9} \] Чтобы вычесть, выразим 1 в виде дроби с делителем 9: \[ 1 = \frac{9}{9} \] Тогда: \[ \cos^2 y = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Теперь извлечём квадратный корень: \[ \cos y = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} \] Теперь упростим \( \sqrt{8} \): \[ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Таким образом, мы получаем: \[ \cos y = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] ### Шаг 3: Находим \( \tan y \) Теперь найдем тангенс угла \( y \). Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: \[ \tan y = \frac{\sin y}{\cos y} \] Подставим известные значения: \[ \tan y = \frac{\frac{1}{3}}{\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{\pm 2\sqrt{2}} \] Теперь избавимся от знака: \[ \tan y = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} \] Чтобы представить полученное значение в более удобной форме, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \): \[ \tan y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} \] ### Шаг 4: Находим \( \cot y \) Котангенс — это обратная величина тангенса: \[ \cot y = \frac{1}{\tan y} = \pm \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \pm \frac{4}{\sqrt{2}} \] Упростим: \[ \cot y = \pm \frac{4\sqrt{2}}{2} = \pm 2\sqrt{2} \] ### Ответ: Итак, находим все значения: - \( \cos y = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \) - \( \tan y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} \) - \( \cot y = \pm 2\sqrt{2} \) Пожалуйста, уточните, если вам нужно указать ограничение на углы (например, если это острый или тупой угол), тогда знаки значений изменятся.