дано: sin y= 1/3 найти cos y, tg y, ctg y

Чтобы найти значения \( \cos y \), \( \tan y \) и \( \cot y \) при условии, что \( \sin y = \frac{1}{3} \), следуем поэтапно:

Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество

Мы знаем, что для любого угла \( y \ выполняется следующее тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \] ### Шаг 2: Находим \( \cos y \)

Подставим \( \sin y \):

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 y = 1 \]

Это упростим:

\[ \frac{1}{9} + \cos^2 y = 1 \]

Теперь вычтем \( \frac{1}{9} \) из обеих частей уравнения:

\[ \cos^2 y = 1 - \frac{1}{9} \]

Чтобы вычесть, выразим 1 в виде дроби с делителем 9:

\[ 1 = \frac{9}{9} \] Тогда:

\[ \cos^2 y = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

Теперь извлечём квадратный корень:

\[ \cos y = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} \]

Теперь упростим \( \sqrt{8} \):

\[ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Таким образом, мы получаем:

\[ \cos y = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Шаг 3: Находим \( \tan y \)

Теперь найдем тангенс угла \( y \). Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу:

\[ \tan y = \frac{\sin y}{\cos y} \]

Подставим известные значения:

\[ \tan y = \frac{\frac{1}{3}}{\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{\pm 2\sqrt{2}} \]

Теперь избавимся от знака:

\[ \tan y = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} \]

Чтобы представить полученное значение в более удобной форме, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\[ \tan y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Шаг 4: Находим \( \cot y \)

Котангенс — это обратная величина тангенса:

\[ \cot y = \frac{1}{\tan y} = \pm \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \pm \frac{4}{\sqrt{2}} \]

Упростим:

\[ \cot y = \pm \frac{4\sqrt{2}}{2} = \pm 2\sqrt{2} \]

Ответ:

Итак, находим все значения:

• \( \cos y = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
• \( \tan y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} \)
• \( \cot y = \pm 2\sqrt{2} \)

Пожалуйста, уточните, если вам нужно указать ограничение на углы (например, если это острый или тупой угол), тогда знаки значений изменятся.