4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (3; -4) и B (5; 8). F (3; -2) и 3. Найдите координаты вершины С паралле A (-3; 3), B (-1; 4), D (8; 1).

Чтобы решить поставленные задачи, мы разобьем их на две части.

Часть 1: Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D (3; -4) и B (5; 8).

Шаг 1: Найдем наклон прямой (угловой коэффициент)

Угловой коэффициент \( m \) можно найти по формуле: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) — координаты точек D и B соответственно. Подставим координаты:

• \( (x_1, y_1) = (3, -4) \)
• \( (x_2, y_2) = (5, 8) \)

Теперь подставим значения: \[ m = \frac{8 - (-4)}{5 - 3} = \frac{8 + 4}{5 - 3} = \frac{12}{2} = 6 \]

Шаг 2: Используем уравнение прямой

Уравнение прямой в общем виде: \[ y = mx + b \] где \( b \) — свободный член, который мы найдем, подставив координаты одной из точек (например, D).

Подставим координаты точки D (3, -4): \[ -4 = 6 \cdot 3 + b \] \[ -4 = 18 + b \implies b = -4 - 18 = -22 \]

Шаг 3: Запишем окончательное уравнение

Теперь мы можем записать уравнение прямой: \[ y = 6x - 22 \]

Часть 2: Найдите координаты вершины C параллелограмма A (-3; 3), B (-1; 4), D (8; 1).

Чтобы найти координаты вершины C параллелограмма, нужно использовать свойства параллелограмма, в основном, что диагонали пересекаются в серединных точках. Мы можем выразить координаты C через координаты A, B, и D.

Шаг 1: Найдем середину диагонали BD

Координаты середины \( M \) отрезка \( BD \) можно найти по формуле: \[ M_x = \frac{x_B + x_D}{2}, \quad M_y = \frac{y_B + y_D}{2} \] Подставим координаты:

• \( B(-1, 4) \)
• \( D(8, 1) \)

\[ M_x = \frac{-1 + 8}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \] \[ M_y = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \] Таким образом, координаты точки M: \( (3.5; 2.5) \).

Шаг 2: Найдем координаты вершины C

Теперь мы знаем, что точка C будет на одной прямой с M и A. Чтобы найти C, воспользуемся тем, что точка M является серединой отрезка AC. Обозначим координаты C как \( (x_C, y_C) \): \[ M_x = \frac{x_A + x_C}{2}, \quad M_y = \frac{y_A + y_C}{2} \] Подставим координаты A (-3, 3): \[ 3.5 = \frac{-3 + x_C}{2} \implies 7 = -3 + x_C \implies x_C = 10 \] \[ 2.5 = \frac{3 + y_C}{2} \implies 5 = 3 + y_C \implies y_C = 2 \] Таким образом, координаты точки C: \( (10; 2) \).

Ответы:

1. Уравнение прямой, проходящей через точки D (3; -4) и B (5; 8): \( y = 6x - 22 \).
2. Координаты вершины C параллелограмма: \( (10; 2) \).