Реши все пожалуйста
Для решения представленных задач будем использовать тригонометрические формулы.
- Найдите значение выражения:
\[ -3 \left(\cos(a - \beta) - 2 \sin a \sin \beta \right) \]
если \(a + \beta = 120^\circ\).
Используем формулу для косинуса разности:
\[ \cos(a - \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta \]
Подставим в выражение:
\[ -3 \left( \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta - 2 \sin a \sin \beta \right) \]
Сгруппируем:
\[ -3 \left( \cos a \cos \beta - \sin a \sin \beta \right) \]
Здесь можно использовать формулу для косинуса суммы:
\[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]
Таким образом, выражение будет равно:
\[ -3(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \]
- Найдите \(\sin 2a\), \(\cos 2a\), \(\tg 2a\), \(\ctg 2a\), если \(\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(a = \frac{\pi}{6} \leq a < \frac{\pi}{3}\).
- \(\sin 2a\):
Используем формулу двойного угла для синуса:
\[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a \]
Зная, что \(\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \frac{1}{2}\), подставляем:
\[ \sin 2a = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
- \(\cos 2a\):
Используем формулу двойного угла для косинуса:
\[ \cos 2a = 2 \cos^2 a - 1 \]
Подставляем:
\[ \cos 2a = 2 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{2} \]
- \(\tg 2a\):
Используем отношение:
\[ \tg 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]
- \(\ctg 2a\):
Обратная величина тангенса:
\[ \ctg 2a = \frac{1}{\tg 2a} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
- Вычислите:
- \(\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
Зная, что \(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[ \sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
- \(\sin 2a - \frac{1}{2}\)
Из предыдущего пункта \(\sin 2a = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[ \sin 2a - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \]
Вот так можно решить данные задачи с подробными объяснениями.
