. Решите неравенство (x - 4) ^ 2 * (x + 0.5) <= 0

Решим неравенство \((x - 4)^2 \cdot (x + 0.5) \leq 0\). ### Шаг 1: Определим нули выражения Сначала найдем корни уравнения, приравняв выражение к нулю: \[ (x - 4)^2 \cdot (x + 0.5) = 0 \] Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1. \((x - 4)^2 = 0\) Здесь \(x = 4\). Этот корень имеет кратность 2, поскольку квадрат. 2. \(x + 0.5 = 0\) Здесь \(x = -0.5\). Теперь у нас есть два корня: \(x = 4\) (кратность 2) и \(x = -0.5\). ### Шаг 2: Определим интервалы Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы, опираясь на найденные корни: 1. \( (-\infty, -0.5) \) 2. \( (-0.5, 4) \) 3. \( (4, +\infty) \) ### Шаг 3: Проверка знака на интервалах Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и проверить знак выражения \((x - 4)^2 \cdot (x + 0.5)\): 1. **Интервал \((- \infty, -0.5)\)** (например, \(x = -1\)): \[ (-1 - 4)^2 \cdot (-1 + 0.5) = (5)^2 \cdot (-0.5) = 25 \cdot (-0.5) = -12.5 \quad (\text{меньше 0}) \] 2. **Интервал \((-0.5, 4)\)** (например, \(x = 0\)): \[ (0 - 4)^2 \cdot (0 + 0.5) = (4)^2 \cdot (0.5) = 16 \cdot 0.5 = 8 \quad (\text{больше 0}) \] 3. **Интервал \((4, + \infty)\)** (например, \(x = 5\)): \[ (5 - 4)^2 \cdot (5 + 0.5) = (1)^2 \cdot (5.5) = 1 \cdot 5.5 = 5.5 \quad (\text{больше 0}) \] ### Шаг 4: Составляем ответ Теперь, подводя итоги по всем интервалам: - В интервале \((- \infty, -0.5)\) значение неравенства отрицательное. - В интервале \((-0.5, 4)\) значение неравенства положительное. - В интервале \((4, +\infty)\) значение неравенства положительное. Также не забываем, что в точках \(x = -0.5\) и \(x = 4\) выражение равно нулю, поэтому их также включаем в решение неравенства \(\leq 0\). ### Окончательный ответ Таким образом, неравенство \((x - 4)^2 \cdot (x + 0.5) \leq 0\) выполняется на интервале: \[ (-\infty, -0.5] \cup \{4\} \] Это значит, что решением неравенства являются все значения \(x\) из интервала от минус бесконечности до \(-0.5\) (включительно) и значение \(x = 4\).