. Решите неравенство (x - 4) ^ 2 * (x + 0.5) <= 0
Решим неравенство \((x - 4)^2 \cdot (x + 0.5) \leq 0\).
Шаг 1: Определим нули выражения
Сначала найдем корни уравнения, приравняв выражение к нулю:
\[ (x - 4)^2 \cdot (x + 0.5) = 0 \]
Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
\((x - 4)^2 = 0\)
Здесь \(x = 4\). Этот корень имеет кратность 2, поскольку квадрат.\(x + 0.5 = 0\)
Здесь \(x = -0.5\).
Теперь у нас есть два корня: \(x = 4\) (кратность 2) и \(x = -0.5\).
Шаг 2: Определим интервалы
Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы, опираясь на найденные корни:
- \( (-\infty, -0.5) \)
- \( (-0.5, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Шаг 3: Проверка знака на интервалах
Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и проверить знак выражения \((x - 4)^2 \cdot (x + 0.5)\):
Интервал \((- \infty, -0.5)\) (например, \(x = -1\)):
\[ (-1 - 4)^2 \cdot (-1 + 0.5) = (5)^2 \cdot (-0.5) = 25 \cdot (-0.5) = -12.5 \quad (\text{меньше 0}) \]Интервал \((-0.5, 4)\) (например, \(x = 0\)):
\[ (0 - 4)^2 \cdot (0 + 0.5) = (4)^2 \cdot (0.5) = 16 \cdot 0.5 = 8 \quad (\text{больше 0}) \]Интервал \((4, + \infty)\) (например, \(x = 5\)):
\[ (5 - 4)^2 \cdot (5 + 0.5) = (1)^2 \cdot (5.5) = 1 \cdot 5.5 = 5.5 \quad (\text{больше 0}) \]
Шаг 4: Составляем ответ
Теперь, подводя итоги по всем интервалам:
- В интервале \((- \infty, -0.5)\) значение неравенства отрицательное.
- В интервале \((-0.5, 4)\) значение неравенства положительное.
- В интервале \((4, +\infty)\) значение неравенства положительное.
Также не забываем, что в точках \(x = -0.5\) и \(x = 4\) выражение равно нулю, поэтому их также включаем в решение неравенства \(\leq 0\).
Окончательный ответ
Таким образом, неравенство \((x - 4)^2 \cdot (x + 0.5) \leq 0\) выполняется на интервале:
\[ (-\infty, -0.5] \cup \{4\} \]
Это значит, что решением неравенства являются все значения \(x\) из интервала от минус бесконечности до \(-0.5\) (включительно) и значение \(x = 4\).
