Чтобы найти значение косинуса угла между двумя векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), мы можем использовать формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
]
где ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), а ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — их длины.
Шаг 1: Найдем скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ).
Даны:
[
\mathbf{a} = [2, 0, 0]
]
[
\mathbf{b} = [-2, -1]
]
Чтобы провести операции над векторами, нужно убедиться, что они находятся в одном пространстве. Вектор ( \mathbf{a} ) — трехмерный, а ( \mathbf{b} ) — двухмерный. Мы можем представить ( \mathbf{b} ) в трехмерном пространстве, добавив компоненту 0:
[
\mathbf{b} = [-2, -1, 0]
]
Теперь можем вычислить скалярное произведение:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2 \cdot -2) + (0 \cdot -1) + (0 \cdot 0) = -4 + 0 + 0 = -4
]
Шаг 2: Найдем длины векторов ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ).
Длина вектора ( \mathbf{a} ):
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2
]
Длина вектора ( \mathbf{b} ):
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
]
Шаг 3: Подставим значения в формулу для нахождения косинуса угла.
Теперь подставим найденные значения в формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{-4}{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{-4}{2\sqrt{5}} = \frac{-2}{\sqrt{5}}
]
Ответ
Таким образом, значение косинуса угла между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно:
[
\cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{5}}
]
