графы

Для решения задач на тему "графы" давайте разберём каждый из вопросов.

Задача 1: Изолированные вершины

Вопрос: На рисунке изображены графы. Сколько у каждого из них рёбер, вершин, изолированных вершин?

• (а): Граф имеет 4 вершины и 3 ребра. Изолированных вершин нет.
• (б): Граф имеет 3 вершины и 3 ребра. Изолированных вершин нет. Это полный граф \(K_3\).
• (в): Граф имеет 6 вершин и 3 ребра. Две изолированные вершины.
• (г): Граф имеет 5 вершин и 4 ребра. Одну изолированную вершину.

Изолированная вершина — это вершина, у которой нет инцидентных рёбер.

Задача 2: Одинаковые графы

Вопрос: На каких рисунках графы одинаковы?

• (а): и (г). Эти графы имеют одинаковую структуру: 3 вершины соединены тремя рёбрами друг с другом, что делает их тождественными. Это также полный граф \(K_3\).

Задача 3: Сумма степеней вершин

Вопрос: Изобразите три разных графа, у которых три ребра, четыре вершины. Найдите сумму степеней вершин каждого графа.

Решение:

1. Простой путь: Построим цепочку из 4 вершин (три вершины имеют степень 2, крайние — степень 1).

   • Граф: a-b-c-d
   • Степени вершин: 1 (a), 2 (b), 2 (c), 1 (d)
   • Сумма степеней: 1 + 2 + 2 + 1 = 6

2. Звёздная структура: Одна центральная вершина соединена со всеми другими.

   • Граф: a (центральная), и три других — b, c, d, соединенные с a.
   • Степени вершин: 3 (a), 1 (b), 1 (c), 1 (d)
   • Сумма степеней: 3 + 1 + 1 + 1 = 6

3. Треугольник с отдалённой вершиной: Три вершины образуют треугольник, четвёртая соединена с одной из них.

   • Граф: a-b-c (треугольник), и d соединена с a.
   • Степени вершин: 3 (a), 2 (b), 2 (c), 1 (d)
   • Сумма степеней: 3 + 2 + 2 + 1 = 8

Важно помнить, что сумма степеней всех вершин графа всегда равна удвоенному числу рёбер.

Если у вас остались вопросы, пожалуйста, уточните!