кружность с радиусом 8 , 3 8,3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания Q Q делит гипотенузу на отрезки, равные 14 , 9 14,9 и 8 8…

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность, и известны длины отрезков, на которые точка касания делит гипотенузу, давайте сначала вспомним некоторые важные определения и свойства.

1. Определения и свойства:

   • В прямоугольном треугольнике, если окружность вписана, то её центры называются \(I\) и длины отрезков касания из вершин к точкам касания на окружности равны.
   • Гипотенуза обозначим как \(c\), а катеты — как \(a\) и \(b\).
   • В нашем случае, точка касания \(Q\) делит гипотенузу \(c\) на два отрезка \(AQ\) и \(QB\), где \(AQ = 14.9\) см, а \(QB = 8\) см.

2. Нахождение длины гипотенузы: \[ c = AQ + QB = 14.9\, \text{см} + 8\, \text{см} = 22.9\, \text{см} \]

3. Свойство вписанной окружности: Для любого треугольника с вписанной окружностью, сумма длин катетов равна сумме длин отрезков, которые эти катеты образуют с гипотенузой. Это сводится к следующей формуле: \[ a + b = AQ + QB \] Следовательно, в нашем случае: \[ a + b = 14.9 + 8 = 22.9\, \text{см} \]

4. Нахождение периметра: Периметр прямоугольного треугольника обозначается как \(P\): \[ P = a + b + c \] Подставляя известные значения: \[ P = (a + b) + c = 22.9\, \text{см} + 22.9\, \text{см} = 45.8\, \text{см} \]

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен 45.8 см.