Кружность с радиусом  8 , 3 8,3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания  Q Q делит гипотенузу на отрезки, равные  14 , 9 14,9 и  8 8 см. Вырази ответ в см.

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность, и известны длины отрезков, на которые точка касания делит гипотенузу, давайте сначала вспомним некоторые важные определения и свойства. 1. **Определения и свойства**: - В прямоугольном треугольнике, если окружность вписана, то её центры называются \(I\) и длины отрезков касания из вершин к точкам касания на окружности равны. - Гипотенуза обозначим как \(c\), а катеты — как \(a\) и \(b\). - В нашем случае, точка касания \(Q\) делит гипотенузу \(c\) на два отрезка \(AQ\) и \(QB\), где \(AQ = 14.9\) см, а \(QB = 8\) см. 2. **Нахождение длины гипотенузы**: \[ c = AQ + QB = 14.9\, \text{см} + 8\, \text{см} = 22.9\, \text{см} \] 3. **Свойство вписанной окружности**: Для любого треугольника с вписанной окружностью, сумма длин катетов равна сумме длин отрезков, которые эти катеты образуют с гипотенузой. Это сводится к следующей формуле: \[ a + b = AQ + QB \] Следовательно, в нашем случае: \[ a + b = 14.9 + 8 = 22.9\, \text{см} \] 4. **Нахождение периметра**: Периметр прямоугольного треугольника обозначается как \(P\): \[ P = a + b + c \] Подставляя известные значения: \[ P = (a + b) + c = 22.9\, \text{см} + 22.9\, \text{см} = 45.8\, \text{см} \] Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен **45.8 см**.